Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +1 µC i ładunek −2 µC znajdują się w odległości 40 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 24 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +1 µCq₂ = −2 µCr₁ = 24 cmr₂ = 16 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Dwie identyczne małe kulki, każda o masie 5 g, wiszą w tym samym punkcie na izolujących niciach o długości 20 cm. Nadano im równe ładunki i każda nić ustala się pod kątem 20° do pionu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz ładunek q każdej kulki w nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 20 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 25 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 10 ms.

V_s = 10 VR = 33 ΩL = 150 mHt = 10 ms

i = A

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik był długo zamknięty, więc obwód jest w stanie ustalonym. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 150 ms.

V_s = 12 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 68 µFt = 150 ms

v_C = V

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Metalowy pręt o długości 80 cm przesuwa się z prędkością 2,5 m/s po dwóch szynach w jednorodnym polu 0,4 T skierowanym w głąb kartki. Szyny połączono opornikiem 0,5 Ω; pręt i szyny mają pomijalny opór. Znajdź prąd I.

B = 0,4 TL = 80 cmv = 2,5 m/sR = 0,5 Ω

I = A

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

W selektorze prędkości skrzyżowane pola E = 4 × 10⁴ V/m i B = 0,05 T przepuszczają prosto tylko jony o jednej prędkości. Znajdź tę prędkość v.

E = 4 × 10⁴ V/mB₁ = 0,05 T

v = m/s

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 2,2 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC ma R = 10 Ω, L = 5 mH i C = 2,2 µF. Wyznacz jego dobroć Q w rezonansie.

R = 10 ΩL = 5 mHC = 2,2 µF

Q =

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 858420 N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,24² = 156076 N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,16² = 702344 N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |156076 + 702344| = 858420 N/C

Odpowiedź

E = 858420 N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: q = 192,8 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła elektryczna z warunku równowagi

Pozioma składowa siły naciągu równoważy F, a pionowa m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 20° = 0,01785 N

Odległość

r = 2·L·sin θ = 2·0,2·sin 20° = 0,1368 m

Ładunek

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1368·√(0,01785/8,99 × 10⁹) = 1,928 × 10⁻⁷ C = 192,8 nC

Odpowiedź

q = 192,8 nC

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 8,913 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 15 + 3 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 5·18/(5+18) = 3,913 Ω

R_eq = R₁ + 3,913 = 5 + 3,913 = 8,913 Ω

Odpowiedź

R_eq = 8,913 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 0,4371 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 4 + 6 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 5,455 Ω

R₃ + 5,455 = 13,45 Ω

R₂ ∥ 13,45 = 2,453 Ω

R_eq = R₁ + 2,453 = 25 + 2,453 = 27,45 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/27,45 = 0,4371 A

Odpowiedź

I_R1 = 0,4371 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,2695 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 150 mH / 33 Ω = 4,545 ms

i(∞) = V_s/R = 10/33 = 0,303 A

Prąd w danej chwili

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,303·(1 − e^−10/4,545) = 0,2695 A

Odpowiedź

i = 0,2695 A

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 2,537 V

Początkowe napięcie kondensatora

W stanie ustalonym kondensator jest rozwarciem, więc R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia. Napięcie kondensatora nie może zmienić się skokowo przy otwarciu łącznika.

v_C(0) = 12·3,3/(4,7 + 3,3) = 4,95 V

Stała czasowa po otwarciu łącznika

τ = R₂·C = 3,3·68 = 224,4 ms

Rozładowanie

v_C(t) = 4,95·e^−150/224,4 = 2,537 V

Odpowiedź

v_C = 2,537 V

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: I = 1,6 A

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM indukowana ruchem

ε = BLv = 0,4·0,8·2,5 = 0,8 V

Prąd

I = ε/R = 0,8/0,5 = 1,6 A

Odpowiedź

I = 1,6 A

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: v = 800000 m/s

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Wybrana prędkość

Bez odchylenia: siła elektryczna qE równoważy siłę magnetyczną qvB.

v = E/B₁ = 4 × 10⁴/0,05 = 800000 m/s

Odpowiedź

v = 800000 m/s

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 82,93 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,2 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (483,6)²) = 487,3 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(483,6/60) = 82,93°

Odpowiedź

φ = 82,93°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: Q = 4,767

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = 1/(2π·√(0,005·2,2·10⁻⁶)) = 1517 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,005/(2,2·10⁻⁶)) = 4,767

Odpowiedź

Q = 4,767

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism