Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Trzy ładunki punktowe leżą na prostej: +6 µC po lewej, −3 µC po prawej w odległości 40 cm i +6 µC między nimi, 24 cm od lewego ładunku. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na środkowy ładunek. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +6 µCq_R = −3 µCq_M = +6 µCr_L = 24 cmr_R = 16 cm

F = N

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 10 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 3 µC leży 5 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 1 µC leży 10 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 1 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przez cewkę płynie ustalony prąd 1,5 A. W t = 0 łącznik zamyka obwód przez R, a źródło zostaje odłączone, więc prąd cewki zanika przez R. Wyznacz prąd i w chwili t = 1 ms.

i(0) = 1,5 AR = 15 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 8 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 60 ms.

V_s = 24 VR = 6,8 kΩC = 22 µFv_C(0) = 8 Vt = 60 ms

v_C = V

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 25 zwojach ma pole powierzchni 20 cm². Cewka znajduje się w jednorodnym polu 0,8 T prostopadłym do jej płaszczyzny, a pole wyłączono w czasie 100 ms. Znajdź średnią indukowaną SEM ε.

N = 25A = 20 cm²B = 0,8 TΔt = 100 ms

ε = mV

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Proton przechodzi bez odchylenia przez selektor prędkości ze skrzyżowanymi polami E = 5 × 10⁴ V/m i B₁ = 0,2 T. Potem wchodzi do drugiego obszaru z samym polem magnetycznym B₂ = 1 T, pod kątem prostym. Znajdź promień r jego toru tam.

E = 5 × 10⁴ V/mB₁ = 0,2 TB₂ = 1 Tm = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC z C = 1 µF ma być w rezonansie przy 60 Hz. Wyznacz potrzebną indukcyjność L.

f₀ = 60 HzC = 1 µF

L = mH

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 50 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_C na kondensatorze.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 22 µF

V_C = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 11,94 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła od każdego ładunku

Zwrot w prawo jest dodatni.

F_L = +k·6·6 × 10⁻¹²/0,24² = 5,619 N

F_R = +k·3·6 × 10⁻¹²/0,16² = 6,321 N

Siła wypadkowa

F = 5,619 + (6,321) = 11,94 N → |F| = 11,94 N

Odpowiedź

F = 11,94 N

Siła wypadkowa jest skierowana w prawo.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 108,3 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·3·10 × 10⁻¹²/0,05² = 107,9 N

F₂ = k·1·10 × 10⁻¹²/0,1² = 8,99 N

Suma wektorowa

F = √(107,9² + 8,99²) = 108,3 N

Odpowiedź

F = 108,3 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 7,217 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 3 + 12 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 8·15/(8+15) = 5,217 Ω

R_eq = R₁ + 5,217 = 2 + 5,217 = 7,217 Ω

Odpowiedź

R_eq = 7,217 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 14,44 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 6 + 8 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 9,545 Ω

R₃ + 9,545 = 39,55 Ω

R₂ ∥ 39,55 = 4,439 Ω

R_eq = R₁ + 4,439 = 10 + 4,439 = 14,44 Ω

Odpowiedź

R_eq = 14,44 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,3347 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0,6667 ms

Zanik prądu

i(t) = 1,5·e^−1/0,6667 = 0,3347 A

Odpowiedź

i = 0,3347 A

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 13,29 V

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 22 µF = 149,6 ms

v_C(t) = 24 + (8 − 24)·e^−t/τ

Napięcie w danej chwili

v_C(60) = 24 + (−16)·e^−60/149,6 = 13,29 V

Odpowiedź

v_C = 13,29 V

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 400 mV

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = 0,8·0,002 = 0,0016 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 25·0,0016/0,1 = 0,4 V

Odpowiedź

ε = 400 mV

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: r = 0,2611 cm

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Wybrana prędkość

Bez odchylenia: siła elektryczna qE równoważy siłę magnetyczną qvB.

v = E/B₁ = 5 × 10⁴/0,2 = 250000 m/s

Promień w drugim polu

r = mv/(|q|B₂) = 0,002611 m = 0,2611 cm

Odpowiedź

r = 0,2611 cm

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: L = 7036 mH

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(377²·1·10⁻⁶) = 7036 mH

Odpowiedź

L = 7036 mH

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_C = 108,8 V

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (21,9)²) = 33,24 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 50/33,24 = 1,504 A

Napięcie na kondensatorze

V_C = I·X_C = 1,504·72,34 = 108,8 V

Odpowiedź

V_C = 108,8 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism