Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunki +6 µC i +4 µC są oddalone o 20 cm. W jakiej odległości x od ładunku +6 µC, na odcinku między nimi, natężenie pola elektrycznego jest równe zeru?

q₁ = +6 µCq₂ = +4 µCd = 20 cm

x = cm

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 2 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 6 µC leży 3 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 6 µC leży 6 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 6 µCq₂ = 6 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Po jakim czasie od zamknięcia łącznika prąd osiągnie 50% wartości końcowej? Wyznacz t.

V_s = 12 VR = 22 ΩL = 220 mH

t = ms

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 30 V o zaznaczonej biegunowości. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 40 ms.

V_s = 5 VR = 2,2 kΩC = 68 µFv_C(0) = 30 Vt = 40 ms

v_C = V

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Dwa długie równoległe przewody w odległości 6 cm przewodzą prądy 8 A i 25 A w tym samym kierunku. Znajdź siłę na metr długości F/L między nimi.

I₁ = 8 AI₂ = 25 Ad = 6 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cząstka alfa przechodzi bez odchylenia przez selektor prędkości ze skrzyżowanymi polami E = 1 × 10⁵ V/m i B₁ = 0,1 T. Potem wchodzi do drugiego obszaru z samym polem magnetycznym B₂ = 1 T, pod kątem prostym. Znajdź promień r jego toru tam.

E = 1 × 10⁵ V/mB₁ = 0,1 TB₂ = 1 Tm = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 22 µF

I = A

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: x = 11,01 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Równe pola

6/x² = 4/(20 − x)²

(20 − x)/x = √(4/6) = 0,8165

Położenie

x = 20/(1 + 0,8165) = 11,01 cm

Odpowiedź

x = 11,01 cm

Punkt zerowy leży zawsze bliżej mniejszego ładunku.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 123,6 N

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·6·2 × 10⁻¹²/0,03² = 119,9 N

F₂ = k·6·2 × 10⁻¹²/0,06² = 29,97 N

Suma wektorowa

F = √(119,9² + 29,97²) = 123,6 N

Odpowiedź

F = 123,6 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 2,54 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 5·16/(5+16) = 3,81 Ω

R_eq = R₁ + 3,81 = 8 + 3,81 = 11,81 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/11,81 = 2,54 A

Odpowiedź

I_R1 = 2,54 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 2,061 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 6 + 8 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 1,75 Ω

R₃ + 1,75 = 3,75 Ω

R₂ ∥ 3,75 = 2,553 Ω

R_eq = R₁ + 2,553 = 12 + 2,553 = 14,55 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/14,55 = 2,061 A

Odpowiedź

I_R1 = 2,061 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 6,931 ms

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 220 mH / 22 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 12/22 = 0,5455 A

Wyznacz czas

0,5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)

t = −10·ln(0,5) = 6,931 ms

Odpowiedź

t = 6,931 ms

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 24,13 V

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 68 µF = 149,6 ms

v_C(t) = 5 + (30 − 5)·e^−t/τ

Napięcie w danej chwili

v_C(40) = 5 + (25)·e^−40/149,6 = 24,13 V

Odpowiedź

v_C = 24,13 V

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: F/L = 666,7 µN/m

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Siła na metr

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·8·25/0,06 = 666,7 µN/m

Odpowiedź

F/L = 666,7 µN/m

Prądy w tym samym kierunku przyciągają się.

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: r = 2,074 cm

Wybrana prędkość

Bez odchylenia: siła elektryczna qE równoważy siłę magnetyczną qvB.

v = E/B₁ = 1 × 10⁵/0,1 = 1 × 10⁶ m/s

Promień w drugim polu

r = mv/(|q|B₂) = 0,02074 m = 2,074 cm

Odpowiedź

r = 2,074 cm

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 84,94 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (169,5)²) = 170,1 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(169,5/15) = 84,94°

Odpowiedź

φ = 84,94°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,5372 A

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (215,2)²) = 223,4 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 120/223,4 = 0,5372 A

Odpowiedź

I = 0,5372 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism