Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +4 µC i ładunek +2 µC znajdują się w odległości 40 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 30 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +4 µCq₂ = +2 µCr₁ = 30 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Ładunki +6 µC i +6 µC są oddalone o 16 cm. Punkt P leży 5 cm od środka odcinka między nimi, na symetralnej. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = +6 µCd = 16 cmh = 5 cm

E = N/C

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przez cewkę płynie ustalony prąd 2,5 A. W t = 0 łącznik zamyka obwód przez R, a źródło zostaje odłączone, więc prąd cewki zanika przez R. Wyznacz prąd i w chwili t = 1 ms.

i(0) = 2,5 AR = 33 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 9 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 5,4 V, dokładnie 20 ms po starcie. Przy R = 22 kΩ wyznacz potrzebną pojemność C.

V_s = 9 VV_th = 5,4 VT = 20 msR = 22 kΩ

C = µF

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Przewód z prądem płynącym w górę strony znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym skierowanym w głąb kartki. Kliknij kierunek siły magnetycznej działającej na przewód.

I: w górę stronyB: w głąb kartki

1w górę strony
2w prawo
3w dół strony
4w lewo

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 1000 zwojów, długość 10 cm i średnicę 2 cm. Znajdź energię W zgromadzoną w jego polu magnetycznym, gdy płynie przez niego prąd 3 A.

N = 1000l = 10 cm⌀ = 2 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 10 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 47 µF

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Rezystor R₁ jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R₂ i kondensatora C i podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 20 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 1,398 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,3² = 399556 N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,1² = 1,798 × 10⁶ N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |399556 − 1,798 × 10⁶| = 1,398 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 1,398 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 6,424 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Odległość i pole jednego ładunku

r = √(8² + 5²) = 9,434 cm

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,09434² = 6,061 × 10⁶ N/C

Składowe

Składowe wzdłuż prostej łączącej ładunki się znoszą.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·6,061 × 10⁶·0,53 = 6,424 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 6,424 × 10⁶ N/C

Pole jest skierowane wzdłuż symetralnej, od ładunków.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 11,11 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 8 + 6 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 4·14/(4+14) = 3,111 Ω

R_eq = R₁ + 3,111 = 8 + 3,111 = 11,11 Ω

Odpowiedź

R_eq = 11,11 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 4,944 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 2 + 2 = 4 Ω

R₄ ∥ 4 = 3,158 Ω

R₃ + 3,158 = 7,158 Ω

R₂ ∥ 7,158 = 2,944 Ω

R_eq = R₁ + 2,944 = 2 + 2,944 = 4,944 Ω

Odpowiedź

R_eq = 4,944 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 1,239 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa

τ = L/R = 47 mH / 33 Ω = 1,424 ms

Zanik prądu

i(t) = 2,5·e^−1/1,424 = 1,239 A

Odpowiedź

i = 1,239 A

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: C = 0,9921 µF

Wymagana stała czasowa

5,4 = 9·(1 − e^−20/τ) → τ = 20/ln(9/(9 − 5,4))

τ = 20/0,9163 = 21,83 ms

Pojemność

kΩ razy µF daje milisekundy.

C = τ/R = 21,83/22 = 0,9921 µF

Odpowiedź

C = 0,9921 µF

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: w lewo

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Reguła prawej dłoni

Skieruj palce wzdłuż prądu lub prędkości i zegnij je w stronę B; kciuk wskazuje siłę działającą na ładunek dodatni.

I: w górę strony, B: w głąb kartki

Kierunek siły

w lewo

Odpowiedź

F: w lewo

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: W = 17,77 mJ

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 3,948 mH

Zgromadzona energia

W = ½LI² = ½·0,003948·3² = 0,01777 J = 17,77 mJ

Odpowiedź

W = 17,77 mJ

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,1501 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,1 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (28,97)²) = 66,63 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 10/66,63 = 0,1501 A

Odpowiedź

I = 0,1501 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: |Z| = 68,61 Ω

Reaktancja

X_C = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Z_p na część rzeczywistą i urojoną.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 18,4 − j5,432 Ω

Impedancja całkowita

Z = 50 + 18,4 − j5,432 = 68,4 − j5,432 Ω

|Z| = √(68,4² + 5,432²) = 68,61 Ω

Odpowiedź

|Z| = 68,61 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism