Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +8 µC i ładunek −8 µC znajdują się w odległości 10 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 5 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +8 µCq₂ = −8 µCr₁ = 5 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Ładunki +5 µC i −5 µC są oddalone o 8 cm. Punkt P leży 6 cm od środka odcinka między nimi, na symetralnej. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = −5 µCd = 8 cmh = 6 cm

E = N/C

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 2 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W zgromadzoną w cewce w chwili t = 1 ms, w mJ.

V_s = 20 VR = 15 ΩL = 22 mHt = 1 ms

W = mJ

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik był długo zamknięty, więc obwód jest w stanie ustalonym. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz prąd i₂ przez R₂ w chwili t = 40 ms.

V_s = 10 VR₁ = 10 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 10 µFt = 40 ms

i₂ = mA

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cząstka alfa wpada z prędkością 4 × 10⁵ m/s prostopadle w jednorodne pole magnetyczne i porusza się po okręgu o promieniu 2,074 cm. Znajdź indukcję magnetyczną B.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 4 × 10⁵ m/sr = 2,074 cm

B = T

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 800 zwojów, długość 50 cm i średnicę 2,5 cm. Znajdź energię W zgromadzoną w jego polu magnetycznym, gdy płynie przez niego prąd 4 A.

N = 800l = 50 cm⌀ = 2,5 cmI = 4 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 100 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC ma R = 5 Ω, L = 5 mH i C = 0,01 µF. Wyznacz jego pasmo przenoszenia B (szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy) w Hz.

R = 5 ΩL = 5 mHC = 0,01 µF

B = Hz

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 5,754 × 10⁷ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,05² = 2,877 × 10⁷ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0,05² = 2,877 × 10⁷ N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |2,877 × 10⁷ + 2,877 × 10⁷| = 5,754 × 10⁷ N/C

Odpowiedź

E = 5,754 × 10⁷ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 9,59 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Odległość i pole jednego ładunku

r = √(4² + 6²) = 7,211 cm

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,07211² = 8,644 × 10⁶ N/C

Składowe

Składowe wzdłuż symetralnej się znoszą.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·8,644 × 10⁶·0,5547 = 9,59 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 9,59 × 10⁶ N/C

Pole jest równoległe do prostej łączącej ładunki, skierowane od ładunku dodatniego do ujemnego.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 21,84 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 3 + 20 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 2·23/(2+23) = 1,84 Ω

R_eq = R₁ + 1,84 = 20 + 1,84 = 21,84 Ω

Odpowiedź

R_eq = 21,84 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,1333 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 12 + 25 = 37 Ω

R₄ ∥ 37 = 7,872 Ω

R₃ + 7,872 = 10,87 Ω

R₂ ∥ 10,87 = 7,98 Ω

R_eq = R₁ + 7,98 = 2 + 7,98 = 9,98 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/9,98 = 0,501 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0,501·2 = 3,998 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,998/30 = 0,1333 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,1333 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W = 4,778 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1,467 ms

i(∞) = V_s/R = 20/15 = 1,333 A

Prąd w danej chwili

i(t) = 1,333·(1 − e^−1/1,467) = 0,6591 A

Zgromadzona energia

W = ½·L·i² = ½·22·0,6591² = 4,778 mJ

Odpowiedź

W = 4,778 mJ

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i₂ = 0,133 mA

Początkowe napięcie kondensatora

W stanie ustalonym kondensator jest rozwarciem, więc R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia. Napięcie kondensatora nie może zmienić się skokowo przy otwarciu łącznika.

v_C(0) = 10·2,2/(10 + 2,2) = 1,803 V

Stała czasowa po otwarciu łącznika

τ = R₂·C = 2,2·10 = 22 ms

Rozładowanie

v_C(t) = 1,803·e^−40/22 = 0,2927 V

i₂ = v_C/R₂ = 0,2927/2,2 = 0,133 mA

Odpowiedź

i₂ = 0,133 mA

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: B = 0,4 T

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Pole z promienia

B = mv/(|q|r) = 6,645 × 10⁻²⁷·4 × 10⁵/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,02074) = 0,4 T

Odpowiedź

B = 0,4 T

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: W = 6,317 mJ

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 789,6 µH

Zgromadzona energia

W = ½LI² = ½·0,0007896·4² = 0,006317 J = 6,317 mJ

Odpowiedź

W = 6,317 mJ

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 30,82 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (59,65)²) = 116,4 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(59,65/100) = 30,82°

Odpowiedź

φ = 30,82°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: B = 159,2 Hz

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = 1/(2π·√(0,005·0,01·10⁻⁶)) = 22508 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,005/(0,01·10⁻⁶)) = 141,4

Pasmo przenoszenia

B = f₀/Q = 22508/141,4 = 159,2 Hz

Odpowiedź

B = 159,2 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism