Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +8 µC i ładunek −2 µC znajdują się w odległości 30 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 18 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +8 µCq₂ = −2 µCr₁ = 18 cmr₂ = 12 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 8 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 1 µC leży 8 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 2 µC leży 3 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 2 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 5 VR₁ = 12 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 5 ms.

V_s = 6 VR = 47 ΩL = 220 mHt = 5 ms

i = A

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Tuż przed zamknięciem łącznika w t = 0 kondensator ma 20 V o zaznaczonej biegunowości. Po jakim czasie v_C osiągnie 15,2 V? Wyznacz t.

V_s = 12 VR = 4,7 kΩC = 22 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Elektron wpada z prędkością 2 × 10⁶ m/s prostopadle w jednorodne pole magnetyczne i porusza się po okręgu o promieniu 0,05686 cm. Znajdź indukcję magnetyczną B.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2 × 10⁶ m/sr = 0,05686 cm

B = mT

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Długi solenoid powietrzny ma 1500 zwojów, długość 30 cm i średnicę 4 cm. Znajdź jego samoindukcję L.

N = 1500l = 30 cm⌀ = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 22 µF

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC ma R = 5 Ω, L = 20 mH i C = 0,47 µF. Wyznacz jego dobroć Q w rezonansie.

R = 5 ΩL = 20 mHC = 0,47 µF

Q =

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 3,468 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,18² = 2,22 × 10⁶ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,12² = 1,249 × 10⁶ N/C

Zwroty i suma

Pierwsze pole jest skierowane od ładunku dodatniego, a drugie do ładunku ujemnego: oba mają ten sam zwrot.

E = |2,22 × 10⁶ + 1,249 × 10⁶| = 3,468 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 3,468 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 160,2 N

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·1·8 × 10⁻¹²/0,08² = 11,24 N

F₂ = k·2·8 × 10⁻¹²/0,03² = 159,8 N

Suma wektorowa

F = √(11,24² + 159,8²) = 160,2 N

Odpowiedź

F = 160,2 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 1,228 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 12 + 15 = 27 Ω

R₂ ∥ 27 = 5·27/(5+27) = 4,219 Ω

R_eq = R₁ + 4,219 = 8 + 4,219 = 12,22 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/12,22 = 1,228 A

Odpowiedź

I_R1 = 1,228 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 26,16 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 15 + 8 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 2,654 Ω

R₃ + 2,654 = 32,65 Ω

R₂ ∥ 32,65 = 14,16 Ω

R_eq = R₁ + 14,16 = 12 + 14,16 = 26,16 Ω

Odpowiedź

R_eq = 26,16 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,08379 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 220 mH / 47 Ω = 4,681 ms

i(∞) = V_s/R = 6/47 = 0,1277 A

Prąd w danej chwili

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,1277·(1 − e^−5/4,681) = 0,08379 A

Odpowiedź

i = 0,08379 A

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: t = 94,74 ms

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo, więc zaczyna od zgromadzonej wartości i dąży do napięcia źródła.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 22 µF = 103,4 ms

v_C(t) = 12 + (20 − 12)·e^−t/τ

Wyznacz czas

15,2 = 12 + (8)·e^−t/τ → e^−t/τ = (15,2 − 12)/(20 − 12) = 0,4

t = τ·ln((20 − 12)/(15,2 − 12)) = 103,4·ln(2,5) = 94,74 ms

Odpowiedź

t = 94,74 ms

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: B = 20 mT

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Pole z promienia

B = mv/(|q|r) = 9,109 × 10⁻³¹·2 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,0005686) = 20 mT

Odpowiedź

B = 20 mT

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: L = 11,84 mH

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Przekrój poprzeczny

A = π·(0,02)² = 0,001257 m²

Samoindukcja

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1500²·0,001257/0,3 = 0,01184 H = 11,84 mH

Odpowiedź

L = 11,84 mH

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,2358 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,1 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−9,511)²) = 50,9 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 12/50,9 = 0,2358 A

Odpowiedź

I = 0,2358 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: Q = 41,26

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = 1/(2π·√(0,02·0,47·10⁻⁶)) = 1642 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,02/(0,47·10⁻⁶)) = 41,26

Odpowiedź

Q = 41,26

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism