Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +10 µC i ładunek +2 µC znajdują się w odległości 50 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 12,5 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +10 µCq₂ = +2 µCr₁ = 12,5 cmr₂ = 37,5 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Elektron wpada w jednorodne pole między dwiema równoległymi płytami, poruszając się równolegle do nich z prędkością 2,5 × 10⁷ m/s. Płyty mają długość 6 cm, a natężenie pola między nimi wynosi 1600 N/C. Ładunek elektronu 1,602 × 10⁻¹⁹ C, masa 9,109 × 10⁻³¹ kg; pomiń grawitację. O ile y zostanie odchylony w bok w chwili opuszczenia płyt? Podaj wynik w mm.

v₀ = 2,5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 1600 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz prąd i w chwili t = 1 ms.

V_s = 15 VR = 100 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik równoległy do R₂ był długo zamknięty, więc prąd cewki jest ustalony. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz prąd cewki i w chwili t = 10 ms.

V_s = 20 VR₁ = 33 ΩR₂ = 20 ΩL = 220 mHt = 10 ms

i = A

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Dwa długie równoległe przewody w odległości 15 cm przewodzą prądy 2 A i 15 A w przeciwnych kierunkach. Znajdź siłę na metr długości F/L między nimi.

I₁ = 2 AI₂ = 15 Ad = 15 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 200 zwojach, 10 cm × 15 cm, obraca się w jednorodnym polu 0,1 T wokół osi prostopadłej do pola. Z jaką prędkością n (w obrotach na minutę) musi się obracać, aby dać skuteczną SEM 26,66 V?

N = 200A = 10 cm × 15 cmB = 0,1 TE_rms = 26,66 V

n = rpm

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz współczynnik mocy cos φ obwodu.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 47 µF

cos φ =

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Rezystor R₁ jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R₂ i kondensatora C i podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 50 ΩC = 100 µF

|Z| = Ω

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 5,626 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,125² = 5,754 × 10⁶ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,375² = 127858 N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |5,754 × 10⁶ − 127858| = 5,626 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 5,626 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: y = 0,8104 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Czas przelotu między płytami

t = L/v₀ = 0,06/2,5 × 10⁷ = 2,4 × 10⁻⁹ s

Przyspieszenie poprzeczne

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·1600/9,109 × 10⁻³¹ = 2,814 × 10¹⁴ m/s²

Ugięcie

y = ½·a·t² = ½·2,814 × 10¹⁴·(2,4 × 10⁻⁹)² = 0,0008104 m = 0,8104 mm

Odpowiedź

y = 0,8104 mm

Elektron jest odpychany w stronę płyty dodatniej, przeciwnie do kierunku pola.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 9,2 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 6 + 12 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 12·18/(12+18) = 7,2 Ω

R_eq = R₁ + 7,2 = 2 + 7,2 = 9,2 Ω

Odpowiedź

R_eq = 9,2 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 28,14 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 25 + 20 = 45 Ω

R₄ ∥ 45 = 2,813 Ω

R₃ + 2,813 = 17,81 Ω

R₂ ∥ 17,81 = 8,143 Ω

R_eq = R₁ + 8,143 = 20 + 8,143 = 28,14 Ω

Odpowiedź

R_eq = 28,14 Ω

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,1155 A

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 68 mH / 100 Ω = 0,68 ms

i(∞) = V_s/R = 15/100 = 0,15 A

Prąd w danej chwili

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,15·(1 − e^−1/0,68) = 0,1155 A

Odpowiedź

i = 0,1155 A

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i = 0,3979 A

Wartość początkowa, wartość końcowa, stała czasowa

Przed t = 0 zamknięty łącznik bocznikuje R₂; potem w obwodzie są zarówno R₁, jak i R₂.

i(0) = 20/33 = 0,6061 A

i(∞) = 20/(33 + 20) = 0,3774 A

τ = L/R = 220/53 = 4,151 ms

i(t) = 0,3774 + (0,6061 − 0,3774)·e^−t/τ

Prąd w danej chwili

i(10) = 0,3774 + (0,2287)·e^−10/4,151 = 0,3979 A

Odpowiedź

i = 0,3979 A

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: F/L = 40 µN/m

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Siła na metr

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·2·15/0,15 = 40 µN/m

Odpowiedź

F/L = 40 µN/m

Prądy w przeciwnych kierunkach odpychają się.

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: n = 1200 rpm

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Szczytowa SEM

E₀ = √2·E_rms = 37,7 V

Prędkość kątowa

ω = E₀/(NBA) = 37,7/(200·0,1·0,015) = 125,7 rad/s

Obroty na minutę

n = 60·125,7/(2π) = 1200 rpm

Odpowiedź

n = 1200 rpm

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: cos φ = 0,5515

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

X_L = 94,25 Ω, X_C = 56,44 Ω

Impedancja

|Z| = √(25² + (37,81)²) = 45,33 Ω

Współczynnik mocy

cos φ = R/|Z| = 25/45,33 = 0,5515

Obwód jest indukcyjny, więc współczynnik mocy ma charakter indukcyjny.

Odpowiedź

cos φ = 0,5515

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: |Z| = 41,2 Ω

Reaktancja

X_C = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Z_p na część rzeczywistą i urojoną.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 14,42 − j22,65 Ω

Impedancja całkowita

Z = 20 + 14,42 − j22,65 = 34,42 − j22,65 Ω

|Z| = √(34,42² + 22,65²) = 41,2 Ω

Odpowiedź

|Z| = 41,2 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism