Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunek +8 µC i ładunek +8 µC znajdują się w odległości 50 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 12,5 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q₁ = +8 µCq₂ = +8 µCr₁ = 12,5 cmr₂ = 37,5 cm

E = N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Trzy dodatnie ładunki punktowe znajdują się w wierzchołkach trójkąta prostokątnego: q₃ = 3 µC leży w wierzchołku kąta prostego, q₁ = 2 µC leży 3 cm od niego wzdłuż jednej przyprostokątnej, a q₂ = 3 µC leży 5 cm od niego wzdłuż drugiej przyprostokątnej. Wyznacz wartość wypadkowej siły elektrycznej F działającej na q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 3 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz rezystancję zastępczą R_eq widzianą przez źródło V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Źródło Vₛ ładuje kondensator przez R₁, a R₂ jest połączony równolegle z C. Kondensator jest rozładowany, gdy łącznik zamyka się w t = 0. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 75 ms.

V_s = 9 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 47 µFt = 75 ms

v_C = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

Łącznik był długo zamknięty, więc obwód jest w stanie ustalonym. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz prąd i₂ przez R₂ w chwili t = 750 ms.

V_s = 10 VR₁ = 1 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 220 µFt = 750 ms

i₂ = mA

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Proton porusza się z prędkością 1,5 × 10⁵ m/s prostopadle do jednorodnego pola magnetycznego 0,25 T. Znajdź promień r jego toru kołowego.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 1,5 × 10⁵ m/sB = 0,25 T

r = cm

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Dwie cewki o indukcyjnościach własnych 80 mH i 5 mH mają współczynnik sprzężenia 0,4. Prąd w pierwszej cewce zmienia się z szybkością 200 A/s. Znajdź SEM ε indukowaną w drugiej cewce.

L₁ = 80 mHL₂ = 5 mHk = 0,4di/dt = 200 A/s

ε = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 100 µF

I = A

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest zasilany ze źródła 1 V (skuteczne), którego częstotliwość ustawiono na częstotliwość rezonansową obwodu. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_L na cewce.

V = 1 V (rms)R = 10 ΩL = 10 mHC = 10 µF

V_L = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 4,091 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,125² = 4,603 × 10⁶ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0,375² = 511431 N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |4,603 × 10⁶ − 511431| = 4,091 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 4,091 × 10⁶ N/C

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: F = 68,11 N

Każda siła działająca na q₃

F₁ = k·2·3 × 10⁻¹²/0,03² = 59,93 N

F₂ = k·3·3 × 10⁻¹²/0,05² = 32,36 N

Suma wektorowa

F = √(59,93² + 32,36²) = 68,11 N

Odpowiedź

F = 68,11 N

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: R_eq = 9,852 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 10 + 15 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 2·25/(2+25) = 1,852 Ω

R_eq = R₁ + 1,852 = 8 + 1,852 = 9,852 Ω

Odpowiedź

R_eq = 9,852 Ω

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,5721 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 20 + 8 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 13,21 Ω

R₃ + 13,21 = 23,21 Ω

R₂ ∥ 23,21 = 6,989 Ω

R_eq = R₁ + 6,989 = 15 + 6,989 = 21,99 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/21,99 = 0,8186 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 0,8186·15 = 5,721 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,721/10 = 0,5721 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,5721 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 1,358 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Obwód zastępczy Thevenina widziany przez kondensator

Zewrzyj źródło, aby wyznaczyć R_th; rozewrzyj kondensator, aby wyznaczyć napięcie, do którego się naładuje.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·2,2/(6,8 + 2,2) = 1,662 kΩ

v_C(∞) = 9·2,2/(6,8 + 2,2) = 2,2 V

Stała czasowa

τ = R_th·C = 1,662·47 = 78,12 ms

Krzywa ładowania

v_C(t) = 2,2·(1 − e^−75/78,12) = 1,358 V

Odpowiedź

v_C = 1,358 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: i₂ = 0,7766 mA

Początkowe napięcie kondensatora

W stanie ustalonym kondensator jest rozwarciem, więc R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia. Napięcie kondensatora nie może zmienić się skokowo przy otwarciu łącznika.

v_C(0) = 10·6,8/(1 + 6,8) = 8,718 V

Stała czasowa po otwarciu łącznika

τ = R₂·C = 6,8·220 = 1496 ms

Rozładowanie

v_C(t) = 8,718·e^−750/1496 = 5,281 V

i₂ = v_C/R₂ = 5,281/6,8 = 0,7766 mA

Odpowiedź

i₂ = 0,7766 mA

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: r = 0,6266 cm

Siły magnetyczne: prosty przewód z prądem I w polu B podlega sile F = BIL·sin θ, a poruszający się ładunek sile F = |q|vB·sin θ, gdzie θ to kąt między prądem (lub prędkością) a B. Siła jest prostopadła do obu: skieruj palce prawej dłoni wzdłuż I lub v, zegnij je w stronę B, a kciuk wskaże F dla ładunku dodatniego; dla ujemnego odwróć zwrot. Ponieważ F jest prostopadła do v, ładunek poruszający się w poprzek jednorodnego pola porusza się po okręgu: |q|vB = mv²/r daje r = mv/(|q|B) oraz okres T = 2πm/(|q|B), który nie zależy od prędkości. Dwa równoległe przewody przyciągają się przy prądach w tym samym kierunku: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Równowaga sił

Siła magnetyczna jest zawsze prostopadła do prędkości, więc zakrzywia tor w okrąg.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Promień

r = 1,673 × 10⁻²⁷·1,5 × 10⁵/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,25) = 0,006266 m = 0,6266 cm

Odpowiedź

r = 0,6266 cm

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: ε = 1,6 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Indukcyjność wzajemna

M = 0,4·√(80·5) = 8 mH

Indukowana SEM

ε = M·di/dt = 0,008·200 = 1,6 V

Odpowiedź

ε = 1,6 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 1,048 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (11,17)²) = 22,91 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 24/22,91 = 1,048 A

Odpowiedź

I = 1,048 A

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_L = 3,162 V

Rezonans

W rezonansie reaktancje się znoszą, więc impedancja jest równa samemu R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·10·10⁻⁶) = 3162 rad/s

I = V/R = 1/10 = 0,1 A

Napięcie na cewce

X_L = ω₀L = 3162·0,01 = 31,62 Ω

V_L = I·X_L = 0,1·31,62 = 3,162 V

Odpowiedź

V_L = 3,162 V

To Q = 3,162 razy napięcie zasilania.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism