Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba
F = k·|q1q2|/r²
Pole ładunku punktowego
E = k·|q|/r²
Stała
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek
F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo
Req = R1 + R2 + …
Rezystory połączone równolegle
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dwa równolegle
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Prawo Ohma
V = I·R
Moc
P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

  1. Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
  2. Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
  4. Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa
τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym
rozwarcie; vC nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym
zwarcie; iL nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony
t ≈ 5τ

Metoda

  1. Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
  2. Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
  3. Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
  4. Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód
B = μ0I/(2πr)
Środek płaskiej cewki
B = μ0NI/(2R)
Długi solenoid
B = μ0nI, n = N/L
Stała
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód
F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek
F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Strumień
Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya
ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt
ε = BLv
Generator
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Indukcyjność
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selektor prędkości i spektrometr
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

  1. Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
  2. Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
  3. Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
  4. Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z

Metoda

  1. Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
  2. Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
  3. Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
  4. Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni
++10 µC++10 µCP60 cm

Ładunek +10 µC i ładunek +10 µC znajdują się w odległości 60 cm od siebie. Punkt P leży na odcinku między nimi, 15 cm od pierwszego ładunku. Wyznacz wartość natężenia pola elektrycznego E w punkcie P.

q1 = +10 µCq2 = +10 µCr1 = 15 cmr2 = 45 cm
E = N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny
L = 20 cm5°qq

Dwie identyczne małe kulki, każda o masie 5 g, wiszą w tym samym punkcie na izolujących niciach o długości 20 cm. Nadano im równe ładunki i każda nić ustala się pod kątem 5° do pionu. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz ładunek q każdej kulki w nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 20 cmθ = 5°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni
R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAR4​6 ΩB

Wyznacz rezystancję zastępczą Req widzianą przez źródło V1.

V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 2 ΩR3 = 10 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩIR2​AR4​4 ΩBR6​8 Ω

Wyznacz prąd IR2 płynący przez R2.

V1 = 6 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 ΩR4 = 4 ΩR5 = 4 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
5.Stany nieustalone RC i RLŚredni
+−Vs​9 Vt = 0R = 5 ΩL33 mHi(t)

Przed zamknięciem łącznika w t = 0 przez cewkę nie płynie prąd. Wyznacz energię W zgromadzoną w cewce w chwili t = 5 ms, w mJ.

Vs = 9 VR = 5 ΩL = 33 mHt = 5 ms
W = mJ
6.Stany nieustalone RC i RLTrudny
+−Vs​30 Votwiera się w t = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 6,8 kΩC22 µF+−vC​

Łącznik był długo zamknięty, więc obwód jest w stanie ustalonym. W t = 0 łącznik się otwiera. Wyznacz napięcie na kondensatorze vC w chwili t = 50 ms.

Vs = 30 VR1 = 1 kΩR2 = 6,8 kΩC = 22 µFt = 50 ms
vC = V
7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni
R = 4 Ωv = 2,5 m/sL = 80 cmB = 0,2 T

Metalowy pręt o długości 80 cm przesuwa się z prędkością 2,5 m/s po dwóch szynach w jednorodnym polu 0,2 T skierowanym w głąb kartki. Szyny połączono opornikiem 4 Ω; pręt i szyny mają pomijalny opór. Znajdź prąd I.

B = 0,2 TL = 80 cmv = 2,5 m/sR = 4 Ω
I = mA
8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny
Bn = 1200 rpm20 cm × 25 cmN = 100B = 0,1 T

Cewka o 100 zwojach, 20 cm × 25 cm, obraca się z prędkością 1200 obr/min w jednorodnym polu 0,1 T wokół osi prostopadłej do pola. Znajdź szczytową SEM E0.

N = 100A = 20 cm × 25 cmB = 0,1 Tn = 1200 rpm
E0 = V
9.Impedancja i wskazy ACŚredni
100 V50 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 10 µFI

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz współczynnik mocy cos φ obwodu.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 10 µF
cos φ =
10.Impedancja i wskazy ACTrudny
12 Vf0​R = 5 ΩL = 20 mHC = 0,47 µF

Szeregowy obwód RLC jest zasilany ze źródła 12 V (skuteczne), którego częstotliwość ustawiono na częstotliwość rezonansową obwodu. Wyznacz wartość skuteczną napięcia VL na cewce.

V = 12 V (rms)R = 5 ΩL = 20 mHC = 0,47 µF
VL = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: E = 3,552 × 10⁶ N/C

Prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe przyciągają się lub odpychają z siłą F = k·|q₁·q₂|/r², gdzie k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Natężenie pola ładunku punktowego to E = k·|q|/r², skierowane od ładunku dodatniego i do ładunku ujemnego. Siły i pola od kilku ładunków dodaje się wektorowo.

Pole każdego ładunku

E1 = k·10 × 10⁻⁶/0,15² = 3,996 × 10⁶ N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0,45² = 443951 N/C

Zwroty i suma

Oba ładunki są dodatnie: w P ich pola są skierowane od każdego z ładunków, czyli mają przeciwne zwroty.

E = |3,996 × 10⁶ − 443951| = 3,552 × 10⁶ N/C

Odpowiedź

E = 3,552 × 10⁶ N/C
2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: q = 24,09 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Siła elektryczna z warunku równowagi

Pozioma składowa siły naciągu równoważy F, a pionowa m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 5° = 0,004291 N

Odległość

r = 2·L·sin θ = 2·0,2·sin 5° = 0,03486 m

Ładunek

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,03486·√(0,004291/8,99 × 10⁹) = 2,409 × 10⁻⁸ C = 24,09 nC

Odpowiedź

q = 24,09 nC
3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: Req = 7,778 Ω

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​2 ΩAR4​6 ΩB

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R3 + R4 = 10 + 6 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 2·16/(2+16) = 1,778 Ω
Req = R1 + 1,778 = 6 + 1,778 = 7,778 Ω

Odpowiedź

Req = 7,778 Ω
4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: IR2 = 0,392 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

R1​ = 10 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​4 ΩBR6​8 Ω

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R5 + R6 = 4 + 8 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 3 Ω
R3 + 3 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 2,438 Ω
Req = R1 + 2,438 = 10 + 2,438 = 12,44 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko Req, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

IR1 = V1/Req = 6/12,44 = 0,4824 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0,4824·10 = 1,176 V
IR2 = VA/R2 = 1,176/3 = 0,392 A

Odpowiedź

IR2 = 0,392 A
5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: W = 15,08 mJ

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Stała czasowa i prąd końcowy

Długo po zamknięciu łącznika cewka zachowuje się jak zwarcie, więc prąd końcowy zależy tylko od R.

τ = L/R = 33 mH / 5 Ω = 6,6 ms
i(∞) = Vs/R = 9/5 = 1,8 A

Prąd w danej chwili

i(t) = 1,8·(1 − e−5/6,6) = 0,9562 A

Zgromadzona energia

W = ½·L·i² = ½·33·0,9562² = 15,08 mJ

Odpowiedź

W = 15,08 mJ
6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: vC = 18,72 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Początkowe napięcie kondensatora

W stanie ustalonym kondensator jest rozwarciem, więc R₁ i R₂ tworzą dzielnik napięcia. Napięcie kondensatora nie może zmienić się skokowo przy otwarciu łącznika.

vC(0) = 30·6,8/(1 + 6,8) = 26,15 V

Stała czasowa po otwarciu łącznika

τ = R2·C = 6,8·22 = 149,6 ms

Rozładowanie

vC(t) = 26,15·e−50/149,6 = 18,72 V

Odpowiedź

vC = 18,72 V
7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: I = 100 mA

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

SEM indukowana ruchem

ε = BLv = 0,2·0,8·2,5 = 0,4 V

Prąd

I = ε/R = 0,4/4 = 0,1 A

Odpowiedź

I = 100 mA
8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: E0 = 62,83 V

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Prędkość kątowa i pole

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s
A = 0,05 m²

Szczytowa SEM

E₀ = NBAω = 100·0,1·0,05·125,7 = 62,83 V

Odpowiedź

E0 = 62,83 V
9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: cos φ = 0,3291

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

XL = 31,42 Ω, XC = 318,3 Ω

Impedancja

|Z| = √(100² + (−286,9)²) = 303,8 Ω

Współczynnik mocy

cos φ = R/|Z| = 100/303,8 = 0,3291
Obwód jest pojemnościowy, więc współczynnik mocy ma charakter pojemnościowy.

Odpowiedź

cos φ = 0,3291
10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: VL = 495,1 V

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Rezonans

W rezonansie reaktancje się znoszą, więc impedancja jest równa samemu R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·0,47·10⁻⁶) = 10314 rad/s
I = V/R = 12/5 = 2,4 A

Napięcie na cewce

XL = ω₀L = 10314·0,02 = 206,3 Ω
VL = I·XL = 2,4·206,3 = 495,1 V

Odpowiedź

VL = 495,1 V

To Q = 41,26 razy napięcie zasilania.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism