Fizyka 2: Elektryczność i magnetyzm: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Prawo Coulomba i pola elektryczne

Prawo Coulomba: F = k·|q₁q₂|/r²
Pole ładunku punktowego: E = k·|q|/r²
Stała: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Siła działająca na ładunek: F = q·E

Rezystory szeregowo i równolegle

Rezystory połączone szeregowo: R_eq = R₁ + R₂ + …
Rezystory połączone równolegle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dwa równolegle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Prawo Ohma: V = I·R
Moc: P = V·I = I²R = V²/R

Metoda

Zacznij od końca sieci najdalszego od zacisków.
Rezystory szeregowe łącz, dodając je, a równoległe ze wzoru 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Po każdym kroku narysuj obwód od nowa.
Powtarzaj, aż między zaciskami zostanie jeden rezystor.

Stany nieustalone RC i RL

Stała czasowa: τ = RC | τ = L/R
Odpowiedź układu: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator przy prądzie stałym: rozwarcie; v_C nie może zmienić się skokowo
Cewka przy prądzie stałym: zwarcie; i_L nie może zmienić się skokowo
Stan ustalony: t ≈ 5τ

Metoda

Wyznacz wartość początkową tuż po przełączeniu: napięcie na kondensatorze i prąd cewki nie mogą zmienić się skokowo.
Wyznacz wartość końcową długo po przełączeniu: kondensator zachowuje się jak rozwarcie, a cewka jak zwarcie.
Wyznacz stałą czasową: τ = RC lub τ = L/R, z rezystancją widzianą przez kondensator lub cewkę.
Użyj x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Pola magnetyczne i indukcja

Długi prosty przewód: B = μ₀I/(2πr)
Środek płaskiej cewki: B = μ₀NI/(2R)
Długi solenoid: B = μ₀nI, n = N/L
Stała: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Siła na przewód: F = BIL·sin θ
Siła działająca na ładunek: F = |q|vB·sin θ
Ruch po okręgu: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Równoległe przewody: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Strumień: Φ = BA·cos θ
Prawo Faradaya: ε = −N·ΔΦ/Δt
Poruszający się pręt: ε = BLv
Generator: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indukcyjność: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indukcyjność wzajemna: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selektor prędkości i spektrometr: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metoda

Zamień każdą wielkość na jednostki SI: cm na m, cm² na m², mT i µT na T.
Wybierz właściwy wzór: B = μ₀I/(2πr) dla przewodu, μ₀NI/(2R) dla środka cewki, μ₀nI wewnątrz solenoidu; F = BIL·sin θ lub |q|vB·sin θ dla sił.
Przy indukcji znajdź zmianę strumienia ΔΦ = Δ(BA·cos θ) i użyj ε = N·ΔΦ/Δt, albo ε = BLv dla poruszającego się pręta i NBAω dla obracającej się cewki.
Kierunki wyznaczaj osobno regułami prawej dłoni, a dla prądów indukowanych regułą Lenza.

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

2Zadania do ćwiczenia

1.Prawo Coulomba i pola elektryczneŚredni

Ładunki +1 µC i +5 µC są oddalone o 10 cm. W jakiej odległości x od ładunku +1 µC, na odcinku między nimi, natężenie pola elektrycznego jest równe zeru?

q₁ = +1 µCq₂ = +5 µCd = 10 cm

x = cm

2.Prawo Coulomba i pola elektryczneTrudny

Elektron wpada w jednorodne pole między dwiema równoległymi płytami, poruszając się równolegle do nich z prędkością 2 × 10⁷ m/s. Płyty mają długość 4 cm, a natężenie pola między nimi wynosi 2900 N/C. Ładunek elektronu 1,602 × 10⁻¹⁹ C, masa 9,109 × 10⁻³¹ kg; pomiń grawitację. O ile y zostanie odchylony w bok w chwili opuszczenia płyt? Podaj wynik w mm.

v₀ = 2 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 2900 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Rezystory szeregowo i równolegleŚredni

Wyznacz prąd I_R2 płynący przez R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.Rezystory szeregowo i równolegleTrudny

Wyznacz prąd I_R1 dostarczany przez źródło, płynący przez R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 10 Ω

I_R1 = A

5.Stany nieustalone RC i RLŚredni

Źródło Vₛ ładuje kondensator przez R₁, a R₂ jest połączony równolegle z C. Kondensator jest rozładowany, gdy łącznik zamyka się w t = 0. Wyznacz napięcie na kondensatorze v_C w chwili t = 300 ms.

V_s = 20 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 68 µFt = 300 ms

v_C = V

6.Stany nieustalone RC i RLTrudny

W t = 0 układ czasowy zaczyna ładować nienaładowany kondensator przez rezystor ze źródła 12 V. Ma zadziałać, gdy napięcie kondensatora osiągnie 9,6 V, dokładnie 250 ms po starcie. Przy R = 100 kΩ wyznacz potrzebną pojemność C.

V_s = 12 VV_th = 9,6 VT = 250 msR = 100 kΩ

C = µF

7.Pola magnetyczne i indukcjaŚredni

Cewka o 10 zwojach, polu powierzchni 200 cm² i oporze 2 Ω tworzy obwód zamknięty. Jednorodne pole prostopadłe do cewki rośnie równomiernie od 0,1 T do 0,4 T w czasie 50 ms. Znajdź średni prąd indukowany I.

N = 10A = 200 cm²B: 0,1 T → 0,4 TΔt = 50 msR = 2 Ω

I = mA

8.Pola magnetyczne i indukcjaTrudny

Cewka o 250 zwojach, 12 cm × 15 cm, obraca się z prędkością 1200 obr/min w jednorodnym polu 0,05 T wokół osi prostopadłej do pola. Znajdź szczytową SEM E₀.

N = 250A = 12 cm × 15 cmB = 0,05 Tn = 1200 rpm

E₀ = V

9.Impedancja i wskazy ACŚredni

Rezystor i kondensator są połączone równolegle i podłączone do zasilania 100 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩC = 100 µF

φ = °

10.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest zasilany ze źródła 1 V (skuteczne), którego częstotliwość ustawiono na częstotliwość rezonansową obwodu. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_L na cewce.

V = 1 V (rms)R = 5 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

V_L = V

3Roztwory

1.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: x = 3,09 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Równe pola

1/x² = 5/(10 − x)²

(10 − x)/x = √(5/1) = 2,236

Położenie

x = 10/(1 + 2,236) = 3,09 cm

Odpowiedź

x = 3,09 cm

Punkt zerowy leży zawsze bliżej mniejszego ładunku.

2.Prawo Coulomba i pola elektryczne

Odpowiedź: y = 1,02 mm

Czas przelotu między płytami

t = L/v₀ = 0,04/2 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s

Przyspieszenie poprzeczne

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·2900/9,109 × 10⁻³¹ = 5,1 × 10¹⁴ m/s²

Ugięcie

y = ½·a·t² = ½·5,1 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0,00102 m = 1,02 mm

Odpowiedź

y = 1,02 mm

Elektron jest odpychany w stronę płyty dodatniej, przeciwnie do kierunku pola.

3.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R2 = 0,9615 A

Połączenia szeregowe i równoległe: szeregowo przez każdy rezystor płynie ten sam prąd i R = R₁ + R₂ + …. Równolegle każdy rezystor ma to samo napięcie i 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Sieć drabinkową upraszcza się parami, aż zostanie jedna rezystancja zastępcza.

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₃ + R₄ = 3 + 12 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 12·15/(12+15) = 6,667 Ω

R_eq = R₁ + 6,667 = 2 + 6,667 = 8,667 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/8,667 = 1,731 A

Prąd przez R₂

Odejmij spadek na R₁, aby dostać potencjał węzła A, czyli napięcie na R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,731·2 = 11,54 V

I_R2 = V_A/R₂ = 11,54/12 = 0,9615 A

Odpowiedź

I_R2 = 0,9615 A

4.Rezystory szeregowo i równolegle

Odpowiedź: I_R1 = 0,2694 A

Łącz rezystory od najdalszego końca

Zacznij od końca najdalszego od źródła i idź w jego stronę. Rezystory z tym samym prądem są połączone szeregowo; rezystory między tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle.

R₅ + R₆ = 3 + 10 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 1,733 Ω

R₃ + 1,733 = 31,73 Ω

R₂ ∥ 31,73 = 12,27 Ω

R_eq = R₁ + 12,27 = 10 + 12,27 = 22,27 Ω

Prąd ze źródła

Źródło widzi tylko R_eq, więc prawo Ohma daje prąd, który dostarcza. Ten prąd płynie przez R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/22,27 = 0,2694 A

Odpowiedź

I_R1 = 0,2694 A

5.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: v_C = 7,268 V

Stany nieustalone pierwszego rzędu: w obwodzie z jednym kondensatorem lub jedną cewką każde napięcie i każdy prąd zmienia się wykładniczo od wartości początkowej do końcowej: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, gdzie τ = RC lub τ = L/R. Po około 5τ obwód jest w stanie ustalonym.

Obwód zastępczy Thevenina widziany przez kondensator

Zewrzyj źródło, aby wyznaczyć R_th; rozewrzyj kondensator, aby wyznaczyć napięcie, do którego się naładuje.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·6,8/(6,8 + 6,8) = 3,4 kΩ

v_C(∞) = 20·6,8/(6,8 + 6,8) = 10 V

Stała czasowa

τ = R_th·C = 3,4·68 = 231,2 ms

Krzywa ładowania

v_C(t) = 10·(1 − e^−300/231,2) = 7,268 V

Odpowiedź

v_C = 7,268 V

6.Stany nieustalone RC i RL

Odpowiedź: C = 1,553 µF

Wymagana stała czasowa

9,6 = 12·(1 − e^−250/τ) → τ = 250/ln(12/(12 − 9,6))

τ = 250/1,609 = 155,3 ms

Pojemność

kΩ razy µF daje milisekundy.

C = τ/R = 155,3/100 = 1,553 µF

Odpowiedź

C = 1,553 µF

7.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: I = 600 mA

Indukcja elektromagnetyczna: strumień przez pętlę to Φ = BA·cos θ, gdzie θ jest kątem między B a normalną pętli. Prawo Faradaya: zmiana strumienia indukuje w cewce o N zwojach SEM = −N·dΦ/dt, a reguła Lenza mówi, że prąd indukowany płynie tak, by jego własne pole przeciwdziałało zmianie. Pręt poruszający się w poprzek pola daje SEM = BLv. Cewka obracająca się z prędkością ω daje e = NBAω·sin ωt, o wartości szczytowej NBAω. Samoindukcja: SEM = −L·di/dt, gdzie L = μ₀N²A/l dla długiego solenoidu, a zgromadzona energia to W = ½LI². Dwie sprzężone cewki: SEM₂ = −M·di₁/dt, gdzie M = k√(L₁L₂).

Zmiana strumienia na zwój

ΔΦ = (0,4 − 0,1)·0,02 = 0,006 Wb

Średnia SEM

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,006/0,05 = 1,2 V

Prąd

I = ε/R = 1,2/2 = 0,6 A

Odpowiedź

I = 600 mA

8.Pola magnetyczne i indukcja

Odpowiedź: E₀ = 28,27 V

Prędkość kątowa i pole

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

A = 0,018 m²

Szczytowa SEM

E₀ = NBAω = 250·0,05·0,018·125,7 = 28,27 V

Odpowiedź

E₀ = 28,27 V

9.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = −78,02 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Prądy gałęzi

Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.

I_R = V/R = 100/15 = 6,667 A

I_X = V/X_C = 100/3,183 = 31,42 A

Prąd całkowity

Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.

I = √(I_R² + I_X²) = √(6,667² + 31,42²) = 32,12 A

Kąt fazowy

Prąd kondensatora wyprzedza V, więc prąd całkowity też wyprzedza, a kąt jest ujemny.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(31,42/6,667) = −78,02°

Odpowiedź

φ = −78,02°

10.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_L = 13,05 V

Rezonans

W rezonansie reaktancje się znoszą, więc impedancja jest równa samemu R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·4,7·10⁻⁶) = 3262 rad/s

I = V/R = 1/5 = 0,2 A

Napięcie na cewce

X_L = ω₀L = 3262·0,02 = 65,23 Ω

V_L = I·X_L = 0,2·65,23 = 13,05 V

Odpowiedź

V_L = 13,05 V

To Q = 13,05 razy napięcie zasilania.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism