Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Stosunek prądów: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Prąd znamionowy: I = S/V
Impedancja sprowadzona: Z₁′ = a²·Z_L
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym: P_cu = x²·P_cu,fl
Sprawność: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Sprawność maksymalna: x = √(P_core/P_cu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika: V = E + I_aR_a
Siła przeciwelektromotoryczna i moment: E = k·ω, T = k·I_a
Prędkość: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Moce: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Rozruch: I_start = V/(R_a + R_st)
Zmienność prędkości: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Maksymalna moc wytworzona: P_max = V²/(4R_a)
Napęd z przerywaczem: V_a = D·V_dc

Metoda

Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja R_a i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
Użyj V = E + I_a·R_a, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·I_a dla momentu, z ω = 2π·n/60.
Dla mocy i sprawności zacznij od V·I_a, odejmij straty w miedzi I_a²·R_a, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera prąd przewodowy 150 A ze źródła o napięciu przewodowym 690 V. Współczynnik mocy wynosi 0,75 (indukcyjny). Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

V_L = 690 VI_L = 150 Acos φ = 0,75

P = kW

2.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 75 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z sieci 480 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,9 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną Q_C, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.

P = 75 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V_L = 480 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.TransformatoryŚredni

Do uzwojenia pierwotnego idealnego transformatora o przekładni N₁:N₂ = 10:1 przyłożono napięcie 1200 V. Do uzwojenia wtórnego dołączono rezystor 10 Ω. Wyznacz prąd pierwotny I₁.

N₁:N₂ = 10:1V₁ = 1200 VR_L = 10 Ω

I₁ = A

4.TransformatoryTrudny

Jednofazowy transformator 250 kVA ma straty w rdzeniu 1000 W. Przy obciążeniu znamionowym i współczynniku mocy 0,85 (indukcyjnym) jego sprawność wynosi 98,5%. Wyznacz straty w miedzi przy pełnym obciążeniu P_cu,fl w watach.

S = 250 kVAP_core = 1000 Wpf = 0,85η = 98,5%

P_cu,fl = W

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Silnik jednofazowy pobiera 39 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z zasilania 240 V. Wyznacz prąd linii I.

P = 39 kWpf = 0,65V = 240 V

I = A

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Odbiornik jednofazowy pobiera 10 kW przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym) z zasilania 230 V, 60 Hz. Równolegle do odbiornika podłączono kondensator 47 µF. Wyznacz nowy prąd linii I.

P = 10 kWpf₁ = 0,8V = 230 Vf = 60 HzC = 47 µF

I = A

7.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 47 µF

I = A

8.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC ma R = 20 Ω, L = 100 mH i C = 2,2 µF. Wyznacz jego dobroć Q w rezonansie.

R = 20 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

Q =

9.Silniki prądu stałegoŚredni

Silnik prądu stałego (k = 1,2 V·s/rad, R_a = 0,5 Ω) jest zasilany napięciem 240 V. Przy pełnym obciążeniu pobiera 15 A. Pomijając prąd biegu jałowego, wyznacz jego zmienność prędkości SR = (n₀ − n_FL)/n_FL w procentach.

V = 240 Vk = 1,2 V·s/radR_a = 0,5 ΩI_FL = 15 A

SR = %

10.Silniki prądu stałegoTrudny

Silnik prądu stałego 120 V ma rezystancję twornika 1,5 Ω. Wyznacz szeregowy rezystor rozruchowy R_st, który ogranicza prąd rozruchowy do 30 A.

V = 120 VR_a = 1,5 ΩI_max = 30 A

R_st = Ω

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 134,5 kW

Moc pozorna

S = √3·V_L·I_L = √3·690·150 = 179,3 kVA

Moc czynna

P = S·cos φ = 179,3·0,75 = 134,5 kW

Odpowiedź

P = 134,5 kW

2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: Q_C = 51,36 kvar

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,65) = 75·1,169 = 87,68 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,9) = 75·0,4843 = 36,32 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 51,36 kvar

Odpowiedź

Q_C = 51,36 kvar

3.Transformatory

Odpowiedź: I₁ = 1,2 A

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Napięcie i prąd wtórny

V₂ = 1200/10 = 120 V

I₂ = 120/10 = 12 A

Prąd pierwotny

Idealny transformator nie ma strat: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/10 = 1,2 A

Odpowiedź

I₁ = 1,2 A

Sprawdzenie: obciążenie widziane od strony pierwotnej to a²·R_L = 1000 Ω, a 1200/1000 daje ten sam prąd.

4.Transformatory

Odpowiedź: P_cu,fl = 2236 W

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·P_cu,fl. Sprawność η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), z P_out = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Moc wyjściowa i wejściowa

P_out = 250·0,85 = 212,5 kW

P_in = 212500/0,985 = 215736 W

Straty całkowite i straty w miedzi

P_loss = 215736 − 212500 = 3236 W

P_cu,fl = 3236 − 1000 = 2236 W

Odpowiedź

P_cu,fl = 2236 W

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I = 250 A

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Prąd linii

Pracę wykonuje tylko moc czynna, więc podziel przez współczynnik mocy.

I = P/(V·cos φ) = 39000/(240·0,65) = 250 A

Odpowiedź

I = 250 A

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I = 52 A

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q₁ = 10·tan(arccos 0,8) = 7,5 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·60·47·10⁻⁶ = 937,3 var = 0,9373 kvar

Q₂ = 7,5 − 0,9373 = 6,563 kvar

Nowa moc pozorna

S₂ = √(10² + 6,563²) = 11,96 kVA

Nowy prąd linii

I = S₂/V = 11961/230 = 52 A

Odpowiedź

I = 52 A

7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 1,997 A

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (45,9)²) = 50,07 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 100/50,07 = 1,997 A

Odpowiedź

I = 1,997 A

8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: Q = 10,66

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = 1/(2π·√(0,1·2,2·10⁻⁶)) = 339,3 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,1/(2,2·10⁻⁶)) = 10,66

Odpowiedź

Q = 10,66

9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: SR = 3,226 %

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja R_a połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + I_a·R_a. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·I_a, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·I_a = T·ω; moc wejściowa to V·I_a, a różnicę stanowią straty w miedzi I_a²R_a oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − R_a·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/R_a. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/R_a jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prędkość na biegu jałowym i przy pełnym obciążeniu

n₀ = 60·240/(2π·1,2) = 1910 rpm

n_FL = 60·(240 − 15·0,5)/(2π·1,2) = 1850 rpm

Zmienność prędkości

SR = (1910 − 1850)/1850·100 = 3,226 %

Odpowiedź

SR = 3,226 %

10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: R_st = 2,5 Ω

Rezystancja całkowita

R_a + R_st = 120/30 = 4 Ω

Rezystor rozruchowy

R_st = 4 − 1,5 = 2,5 Ω

Odpowiedź

R_st = 2,5 Ω

Rezystor jest wyłączany stopniowo, w miarę jak silnik przyspiesza, a siła przeciwelektromotoryczna rośnie.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems