Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Stosunek prądów: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Prąd znamionowy: I = S/V
Impedancja sprowadzona: Z₁′ = a²·Z_L
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym: P_cu = x²·P_cu,fl
Sprawność: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Sprawność maksymalna: x = √(P_core/P_cu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika: V = E + I_aR_a
Siła przeciwelektromotoryczna i moment: E = k·ω, T = k·I_a
Prędkość: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Moce: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Rozruch: I_start = V/(R_a + R_st)
Zmienność prędkości: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Maksymalna moc wytworzona: P_max = V²/(4R_a)
Napęd z przerywaczem: V_a = D·V_dc

Metoda

Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja R_a i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
Użyj V = E + I_a·R_a, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·I_a dla momentu, z ω = 2π·n/60.
Dla mocy i sprawności zacznij od V·I_a, odejmij straty w miedzi I_a²·R_a, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera prąd przewodowy 40 A ze źródła o napięciu przewodowym 208 V. Współczynnik mocy wynosi 0,8 (indukcyjny). Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

V_L = 208 VI_L = 40 Acos φ = 0,8

P = kW

2.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 50 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z sieci 690 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,92 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w trójkąt. Wyznacz pojemność C_ph każdego kondensatora w µF.

P = 50 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,92V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoryŚredni

Jednofazowy transformator 250 kVA, 4800/240 V pracuje przy obciążeniu znamionowym. Potraktuj go jako idealny. Wyznacz prąd I_LV w uzwojeniu dolnego napięcia.

S = 250 kVAV₁ = 4800 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.TransformatoryTrudny

Jednofazowy transformator 500 kVA ma straty w rdzeniu 2000 W i straty w miedzi 8000 W przy obciążeniu znamionowym. Dostarcza 75% swojej znamionowej mocy kVA przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym). Wyznacz całkowite straty P_loss w watach przy tym obciążeniu.

S = 500 kVAP_core = 2000 WP_cu,fl = 8000 Wx = 0,75pf = 0,8

P_loss = W

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Silnik jednofazowy pobiera 8 kW przy współczynniku mocy 0,9 (indukcyjnym) z zasilania 400 V. Wyznacz moc bierną Q, którą pobiera.

P = 8 kWpf = 0,9V = 400 V

Q = kvar

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Transformator jednofazowy 100 kVA zasila odbiornik 42 kW przy współczynniku mocy 0,85 (indukcyjnym). Ile dodatkowej mocy czynnej ΔP można dołączyć jako odbiornik rezystancyjny (współczynnik mocy równy 1), zanim transformator osiągnie swoją moc znamionową w kVA?

S_max = 100 kVAP₁ = 42 kWpf₁ = 0,85

ΔP = kW

7.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC z L = 20 mH ma być w rezonansie przy 1000 Hz. Wyznacz potrzebną pojemność C.

f₀ = 1000 HzL = 20 mH

C = µF

8.Impedancja i wskazy ACTrudny

Rezystor R₁ jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R₂ i kondensatora C i podłączony do zasilania 50 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 50 ΩC = 100 µF

I = A

9.Silniki prądu stałegoŚredni

Silnik prądu stałego oddaje moc mechaniczną 0,5 kW przy 1000 obr/min. Wyznacz moment na wale T.

P = 0,5 kWn = 1000 rpm

T = N·m

10.Silniki prądu stałegoTrudny

Silnik prądu stałego (k = 0,25 V·s/rad, R_a = 0,8 Ω) zasilany stałym napięciem 48 V napędza obciążenie 1,25 N·m. Wyznacz rezystancję szeregową R_s, która zwalnia go do 1500 obr/min.

V = 48 Vk = 0,25 V·s/radR_a = 0,8 ΩT = 1,25 N·mn = 1500 rpm

R_s = Ω

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 11,53 kW

Moc pozorna

S = √3·V_L·I_L = √3·208·40 = 14,41 kVA

Moc czynna

P = S·cos φ = 14,41·0,8 = 11,53 kW

Odpowiedź

P = 11,53 kW

2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: C_ph = 69,01 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,65) = 50·1,169 = 58,46 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,92) = 50·0,426 = 21,3 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 37,16 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w trójkąt każdy kondensator jest włączony między dwa przewody fazowe.

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 12386/(377·690²) = 69,01 µF

Odpowiedź

C_ph = 69,01 µF

3.Transformatory

Odpowiedź: I_LV = 1042 A

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Prąd znamionowy

Oba uzwojenia przenoszą tę samą moc pozorną.

I_LV = S/V = 250000/240 = 1042 A

Odpowiedź

I_LV = 1042 A

4.Transformatory

Odpowiedź: P_loss = 6500 W

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·P_cu,fl. Sprawność η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), z P_out = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Straty w miedzi przy tym obciążeniu

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,5625·8000 = 4500 W

Straty całkowite

Straty w rdzeniu są takie same przy każdym obciążeniu.

P_loss = 2000 + 4500 = 6500 W

Odpowiedź

P_loss = 6500 W

Sprawność przy tym obciążeniu wynosi η = 97,88%.

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: Q = 3,875 kvar

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Kąt

φ = arccos(0,9) = 25,84°, tan φ = 0,4843

Moc bierna

Q = P·tan φ = 8·0,4843 = 3,875 kvar

Odpowiedź

Q = 3,875 kvar

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: ΔP = 54,55 kW

Moc bierna istniejącego odbiornika

Q₁ = 42·tan(arccos 0,85) = 26,03 kvar

Największa łączna moc czynna

Przy pełnym obciążeniu znamionowym S = S_max, a odbiornik rezystancyjny nie zmienia Q.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(100² − 26,03²) = 96,55 kW

Dodatkowa moc czynna

ΔP = 96,55 − 42 = 54,55 kW

Odpowiedź

ΔP = 54,55 kW

7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: C = 1,267 µF

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0,02) = 1,267 µF

Odpowiedź

C = 1,267 µF

8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 1,333 A

Reaktancja

X_C = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Z_p na część rzeczywistą i urojoną.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 4,6 − j14,45 Ω

Impedancja całkowita

Z = 30 + 4,6 − j14,45 = 34,6 − j14,45 Ω

|Z| = √(34,6² + 14,45²) = 37,5 Ω

Prąd

I = V/|Z| = 50/37,5 = 1,333 A

Odpowiedź

I = 1,333 A

9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: T = 4,775 N·m

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja R_a połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + I_a·R_a. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·I_a, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·I_a = T·ω; moc wejściowa to V·I_a, a różnicę stanowią straty w miedzi I_a²R_a oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − R_a·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/R_a. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/R_a jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prędkość w rad/s

ω = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

Moment skręcający

T = P/ω = 500/104,7 = 4,775 N·m

Odpowiedź

T = 4,775 N·m

10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: R_s = 0,946 Ω

Prąd i siła przeciwelektromotoryczna

I_a = 1,25/0,25 = 5 A

E = 0,25·157,1 = 39,27 V

Rezystancja szeregowa

R_a + R_s = (48 − 39,27)/5 = 1,746 Ω

R_s = 0,946 Ω

Odpowiedź

R_s = 0,946 Ω

Rezystor wydziela 23,65 W strat; przerywacz reguluje prędkość ze znacznie mniejszymi stratami.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems