Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa
a = N1/N2 = V1/V2
Stosunek prądów
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Prąd znamionowy
I = S/V
Impedancja sprowadzona
Z1′ = a²·ZL
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym
Pcu = x²·Pcu,fl
Sprawność
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Sprawność maksymalna
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z

Metoda

  1. Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
  2. Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
  3. Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
  4. Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika
V = E + IaRa
Siła przeciwelektromotoryczna i moment
E = k·ω, T = k·Ia
Prędkość
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Moce
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Rozruch
Istart = V/(Ra + Rst)
Zmienność prędkości
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maksymalna moc wytworzona
Pmax = V²/(4Ra)
Napęd z przerywaczem
Va = D·Vdc

Metoda

  1. Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja Ra i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
  2. Użyj V = E + Ia·Ra, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
  3. Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·Ia dla momentu, z ω = 2π·n/60.
  4. Dla mocy i sprawności zacznij od V·Ia, odejmij straty w miedzi Ia²·Ra, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni
ABCVL​ = 480 VIL​ = 150 Acos φ = 0,9indukcyjny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera prąd przewodowy 150 A ze źródła o napięciu przewodowym 480 V. Współczynnik mocy wynosi 0,9 (indukcyjny). Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

VL = 480 VIL = 150 Acos φ = 0,9
P = kW
2.Moc w układach trójfazowychTrudny
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 300 kW przy współczynniku mocy 0,78 (indukcyjnym) z sieci 690 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,9 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w gwiazdę. Wyznacz pojemność Cph każdego kondensatora w µF.

P = 300 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.TransformatoryŚredni
6600 V230 VIHV​ = ?ILV​10 kVA

Jednofazowy transformator 10 kVA, 6600/230 V pracuje przy obciążeniu znamionowym. Potraktuj go jako idealny. Wyznacz prąd IHV w uzwojeniu górnego napięcia.

S = 10 kVAV1 = 6600 VV2 = 230 V
IHV = A
4.TransformatoryTrudny
pf 0,8250 kVA, 75% obciążenie

Jednofazowy transformator 250 kVA ma straty w rdzeniu 2000 W i straty w miedzi 3000 W przy obciążeniu znamionowym. Dostarcza 75% swojej znamionowej mocy kVA przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym). Wyznacz całkowite straty Ploss w watach przy tym obciążeniu.

S = 250 kVAPcore = 2000 WPcu,fl = 3000 Wx = 0,75pf = 0,8
Ploss = W
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
P = 29 kWQ = ?Sφ

Silnik jednofazowy pobiera 29 kW przy współczynniku mocy 0,9 (indukcyjnym) z zasilania 400 V. Wyznacz moc bierną Q, którą pobiera.

P = 29 kWpf = 0,9V = 400 V
Q = kvar
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
P = 50 kWQ1​S1​φ1​QC​

Odbiornik jednofazowy pobiera 50 kW przy współczynniku mocy 0,6 (indukcyjnym) z zasilania 240 V, 60 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,95. Wyznacz moc bierną QC, którą musi dostarczyć kondensator.

P = 50 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,95V = 240 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.Impedancja i wskazy ACŚredni
100 V500 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 22 µFI

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz współczynnik mocy cos φ obwodu.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 22 µF
cos φ =
8.Impedancja i wskazy ACTrudny
230 V60 HzR1​ = 10 ΩR2​ = 30 ΩC = 100 µF

Rezystor R1 jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R2 i kondensatora C i podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR1 = 10 ΩR2 = 30 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω
9.Silniki prądu stałegoŚredni
T (N·m)n (rpm)12,5 N·mn0​n = ?

Silnik prądu stałego (k = 0,5 N·m/A, Ra = 0,4 Ω) jest zasilany napięciem 110 V i napędza obciążenie o momencie 12,5 N·m. Wyznacz jego prędkość n w obr/min.

V = 110 Vk = 0,5 N·m/ARa = 0,4 ΩT = 12,5 N·m
n = rpm
10.Silniki prądu stałegoTrudny
+−220 VRa​ = 1,5 ΩM+−En = ?T = 3,6 N·m

Silnik obcowzbudny (k = 0,6 V·s/rad przy pełnym polu, Ra = 1,5 Ω, V = 220 V) napędza obciążenie o stałym momencie 3,6 N·m. Strumień wzbudzenia zmniejszono do 80 % wartości pełnej. Wyznacz nową prędkość n.

V = 220 Vk = 0,6 V·s/radRa = 1,5 ΩT = 3,6 N·mΦ = 80 %
n = rpm

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 112,2 kW

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Moc pozorna

S = √3·VL·IL = √3·480·150 = 124,7 kVA

Moc czynna

P = S·cos φ = 124,7·0,9 = 112,2 kW

Odpowiedź

P = 112,2 kW
2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: Cph = 531,5 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q1 = 300·tan(acos 0,78) = 300·0,8023 = 240,7 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0,9) = 300·0,4843 = 145,3 kvar

Moc bierna z kondensatorów

QC = Q1 − Q2 = 95,39 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w gwiazdę każdy kondensator jest włączony między przewód fazowy a punkt gwiazdowy.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 31796/(377·398,4²) = 531,5 µF

Odpowiedź

Cph = 531,5 µF
3.Transformatory

Odpowiedź: IHV = 1,515 A

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Prąd znamionowy

Oba uzwojenia przenoszą tę samą moc pozorną.

IHV = S/V = 10000/6600 = 1,515 A

Odpowiedź

IHV = 1,515 A
4.Transformatory

Odpowiedź: Ploss = 3688 W

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·Pcu,fl. Sprawność η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), z Pout = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Straty w miedzi przy tym obciążeniu

Pcu = x²·Pcu,fl = 0,5625·3000 = 1688 W

Straty całkowite

Straty w rdzeniu są takie same przy każdym obciążeniu.

Ploss = 2000 + 1688 = 3688 W

Odpowiedź

Ploss = 3688 W

Sprawność przy tym obciążeniu wynosi η = 97,6%.

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: Q = 14,05 kvar

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Kąt

φ = arccos(0,9) = 25,84°, tan φ = 0,4843

Moc bierna

Q = P·tan φ = 29·0,4843 = 14,05 kvar

Odpowiedź

Q = 14,05 kvar
6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: QC = 50,23 kvar

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(53,13°) = 66,67 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(18,19°) = 16,43 kvar
QC = Q1 − Q2 = 50,23 kvar

Odpowiedź

QC = 50,23 kvar
7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: cos φ = 0,1646

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

XL = 314,2 Ω, XC = 14,47 Ω

Impedancja

|Z| = √(50² + (299,7)²) = 303,8 Ω

Współczynnik mocy

cos φ = R/|Z| = 50/303,8 = 0,1646
Obwód jest indukcyjny, więc współczynnik mocy ma charakter indukcyjny.

Odpowiedź

cos φ = 0,1646
8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: |Z| = 27,53 Ω

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

XC = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Zp na część rzeczywistą i urojoną.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 13,16 − j14,89 Ω

Impedancja całkowita

Z = 10 + 13,16 − j14,89 = 23,16 − j14,89 Ω
|Z| = √(23,16² + 14,89²) = 27,53 Ω

Odpowiedź

|Z| = 27,53 Ω
9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n = 1910 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prąd twornika

Ia = T/k = 12,5/0,5 = 25 A

Siła przeciwelektromotoryczna i prędkość

E = 110 − 25·0,4 = 100 V
ω = E/k = 200 rad/s → n = 1910 rpm

Odpowiedź

n = 1910 rpm
10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n = 4153 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Stała silnika przy osłabionym polu

k₂ = 0,8·0,6 = 0,48 V·s/rad

Nowy prąd twornika

Ia = 3,6/0,48 = 7,5 A

Nowa prędkość

ω = (220 − 7,5·1,5)/0,48 = 434,9 rad/s → n = 4153 rpm

Odpowiedź

n = 4153 rpm

Osłabianie pola pozwala napędowi prądu stałego pracować powyżej prędkości podstawowej.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems