Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Stosunek prądów: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Prąd znamionowy: I = S/V
Impedancja sprowadzona: Z₁′ = a²·Z_L
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym: P_cu = x²·P_cu,fl
Sprawność: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Sprawność maksymalna: x = √(P_core/P_cu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika: V = E + I_aR_a
Siła przeciwelektromotoryczna i moment: E = k·ω, T = k·I_a
Prędkość: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Moce: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Rozruch: I_start = V/(R_a + R_st)
Zmienność prędkości: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Maksymalna moc wytworzona: P_max = V²/(4R_a)
Napęd z przerywaczem: V_a = D·V_dc

Metoda

Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja R_a i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
Użyj V = E + I_a·R_a, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·I_a dla momentu, z ω = 2π·n/60.
Dla mocy i sprawności zacznij od V·I_a, odejmij straty w miedzi I_a²·R_a, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 45 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 93%, a współczynnik mocy 0,88 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 415 V. Wyznacz prąd przewodowy I_L.

P_out = 45 kWη = 93%cos φ = 0,88V_L = 415 V

I_L = A

2.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 300 kW przy współczynniku mocy 0,78 (indukcyjnym) z sieci 415 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,98 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w gwiazdę. Wyznacz pojemność C_ph każdego kondensatora w µF.

P = 300 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,98V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoryŚredni

Jednofazowy transformator 250 kVA, 11000/400 V pracuje przy obciążeniu znamionowym. Potraktuj go jako idealny. Wyznacz prąd I_LV w uzwojeniu dolnego napięcia.

S = 250 kVAV₁ = 11000 VV₂ = 400 V

I_LV = A

4.TransformatoryTrudny

Jednofazowy transformator 150 kVA ma straty w rdzeniu 1200 W i straty w miedzi 3600 W przy obciążeniu znamionowym. Przy jakim obciążeniu S_η,max, w kVA, jego sprawność jest najwyższa?

S = 150 kVAP_core = 1200 WP_cu,fl = 3600 W

S_η,max = kVA

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Do jednofazowego zasilania 230 V podłączono równolegle dwa odbiorniki: odbiornik 26 kW przy współczynniku mocy 0,85 (indukcyjnym) oraz odbiornik 8 kW przy współczynniku mocy 0,95 (pojemnościowym). Wyznacz prąd całkowity I pobierany z zasilania.

V = 230 VP₁ = 26 kW, pf₁ = 0,85 indukcyjnyP₂ = 8 kW, pf₂ = 0,95 pojemnościowy

I = A

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Odbiornik jednofazowy pobiera 5 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym) z zasilania 240 V, 60 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,9. Wyznacz potrzebną pojemność C.

P = 5 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,9V = 240 Vf = 60 Hz

C = µF

7.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 100 µF

φ = °

8.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_C na kondensatorze.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 100 µF

V_C = V

9.Silniki prądu stałegoŚredni

Silnik prądu stałego (k = 1 N·m/A, R_a = 2 Ω) jest zasilany napięciem 240 V i napędza obciążenie o momencie 10 N·m. Wyznacz jego prędkość n w obr/min.

V = 240 Vk = 1 N·m/AR_a = 2 ΩT = 10 N·m

n = rpm

10.Silniki prądu stałegoTrudny

Silnik prądu stałego (k = 0,5 V·s/rad, R_a = 1,5 Ω) zasilany stałym napięciem 48 V napędza obciążenie 1 N·m. Wyznacz rezystancję szeregową R_s, która zwalnia go do 300 obr/min.

V = 48 Vk = 0,5 V·s/radR_a = 1,5 ΩT = 1 N·mn = 300 rpm

R_s = Ω

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: I_L = 76,5 A

Elektryczna moc wejściowa

P_in = P_out/η = 45/0,93 = 48,39 kW

Prąd linii

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 48387/(√3·415·0,88) = 76,5 A

Odpowiedź

I_L = 76,5 A

2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: C_ph = 3322 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,78) = 300·0,8023 = 240,7 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,98) = 300·0,2031 = 60,92 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 179,8 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w gwiazdę każdy kondensator jest włączony między przewód fazowy a punkt gwiazdowy.

V = 415/√3 = 239,6 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 59922/(314,2·239,6²) = 3322 µF

Odpowiedź

C_ph = 3322 µF

3.Transformatory

Odpowiedź: I_LV = 625 A

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Prąd znamionowy

Oba uzwojenia przenoszą tę samą moc pozorną.

I_LV = S/V = 250000/400 = 625 A

Odpowiedź

I_LV = 625 A

4.Transformatory

Odpowiedź: S_η,max = 86,6 kVA

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·P_cu,fl. Sprawność η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), z P_out = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Straty w miedzi równe stratom w rdzeniu

x²·3600 = 1200 → x = √(1200/3600) = 0,5774

Obciążenie przy maksymalnej sprawności

S_η,max = x·S = 0,5774·150 = 86,6 kVA

Odpowiedź

S_η,max = 86,6 kVA

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I = 159 A

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna każdego odbiornika

Odbiornik indukcyjny pobiera moc bierną (Q > 0); odbiornik pojemnościowy ją oddaje (Q < 0).

Q₁ = 26·tan(arccos 0,85) = 16,11 kvar

Q₂ = −8·tan(arccos 0,95) = −2,629 kvar

Sumy

P = 26 + 8 = 34 kW

Q = 16,11 + (−2,629) = 13,48 kvar

S = √(34² + 13,48²) = 36,58 kVA

Prąd całkowity

I = S/V = 36576/230 = 159 A

Odpowiedź

I = 159 A

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: C = 91,55 µF

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q₁ = P·tan φ₁ = 5·tan(41,41°) = 4,41 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 5·tan(25,84°) = 2,422 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 1,988 kvar

Pojemność

Kondensator dołączony do zasilania dostarcza Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 1988/(2π·60·240²) = 91,55 µF

Odpowiedź

C = 91,55 µF

7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 82,74 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (117,7)²) = 118,7 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(117,7/15) = 82,74°

Odpowiedź

φ = 82,74°

8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_C = 0,3629 V

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (243,4)²) = 263,1 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 12/263,1 = 0,04561 A

Napięcie na kondensatorze

V_C = I·X_C = 0,04561·7,958 = 0,3629 V

Odpowiedź

V_C = 0,3629 V

9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n = 2101 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja R_a połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + I_a·R_a. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·I_a, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·I_a = T·ω; moc wejściowa to V·I_a, a różnicę stanowią straty w miedzi I_a²R_a oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − R_a·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/R_a. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/R_a jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prąd twornika

I_a = T/k = 10/1 = 10 A

Siła przeciwelektromotoryczna i prędkość

E = 240 − 10·2 = 220 V

ω = E/k = 220 rad/s → n = 2101 rpm

Odpowiedź

n = 2101 rpm

10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: R_s = 14,65 Ω

Prąd i siła przeciwelektromotoryczna

I_a = 1/0,5 = 2 A

E = 0,5·31,42 = 15,71 V

Rezystancja szeregowa

R_a + R_s = (48 − 15,71)/2 = 16,15 Ω

R_s = 14,65 Ω

Odpowiedź

R_s = 14,65 Ω

Rezystor wydziela 58,58 W strat; przerywacz reguluje prędkość ze znacznie mniejszymi stratami.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems