Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa
a = N1/N2 = V1/V2
Stosunek prądów
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Prąd znamionowy
I = S/V
Impedancja sprowadzona
Z1′ = a²·ZL
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym
Pcu = x²·Pcu,fl
Sprawność
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Sprawność maksymalna
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z

Metoda

  1. Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
  2. Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
  3. Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
  4. Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika
V = E + IaRa
Siła przeciwelektromotoryczna i moment
E = k·ω, T = k·Ia
Prędkość
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Moce
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Rozruch
Istart = V/(Ra + Rst)
Zmienność prędkości
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maksymalna moc wytworzona
Pmax = V²/(4Ra)
Napęd z przerywaczem
Va = D·Vdc

Metoda

  1. Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja Ra i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
  2. Użyj V = E + Ia·Ra, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
  3. Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·Ia dla momentu, z ω = 2π·n/60.
  4. Dla mocy i sprawności zacznij od V·Ia, odejmij straty w miedzi Ia²·Ra, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni
ABCVL​ = 208 VIL​ = 40 Acos φ = 0,92indukcyjny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera prąd przewodowy 40 A ze źródła o napięciu przewodowym 208 V. Współczynnik mocy wynosi 0,92 (indukcyjny). Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

VL = 208 VIL = 40 Acos φ = 0,92
P = kW
2.Moc w układach trójfazowychTrudny
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 120 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym) z sieci 400 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,95 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w trójkąt. Wyznacz pojemność Cph każdego kondensatora w µF.

P = 120 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,95VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.TransformatoryŚredni
RL​ = 12 Ω1012300 VV2​I1​ = ?I2​

Do uzwojenia pierwotnego idealnego transformatora o przekładni N₁:N₂ = 10:1 przyłożono napięcie 2300 V. Do uzwojenia wtórnego dołączono rezystor 12 Ω. Wyznacz prąd pierwotny I1.

N1:N2 = 10:1V1 = 2300 VRL = 12 Ω
I1 = A
4.TransformatoryTrudny
150 kVA

Jednofazowy transformator 150 kVA ma straty w rdzeniu 1200 W i straty w miedzi 3600 W przy obciążeniu znamionowym. Przy jakim obciążeniu Sη,max, w kVA, jego sprawność jest najwyższa?

S = 150 kVAPcore = 1200 WPcu,fl = 3600 W
Sη,max = kVA
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
P = 20 kWQ = ?Sφ

Silnik jednofazowy pobiera 20 kW przy współczynniku mocy 0,9 (indukcyjnym) z zasilania 240 V. Wyznacz moc bierną Q, którą pobiera.

P = 20 kWpf = 0,9V = 240 V
Q = kvar
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
P1​ = 107 kWQ1​S1​φ

Transformator jednofazowy 200 kVA zasila odbiornik 107 kW przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym). Ile dodatkowej mocy czynnej ΔP można dołączyć jako odbiornik rezystancyjny (współczynnik mocy równy 1), zanim transformator osiągnie swoją moc znamionową w kVA?

Smax = 200 kVAP1 = 107 kWpf1 = 0,8
ΔP = kW
7.Impedancja i wskazy ACŚredni
Vf0​ = 5000 HzRL = 10 mHC = ?

Szeregowy obwód RLC z L = 10 mH ma być w rezonansie przy 5000 Hz. Wyznacz potrzebną pojemność C.

f0 = 5000 HzL = 10 mH
C = µF
8.Impedancja i wskazy ACTrudny
1 Vf0​R = 50 ΩL = 200 mHC = 1 µF

Szeregowy obwód RLC jest zasilany ze źródła 1 V (skuteczne), którego częstotliwość ustawiono na częstotliwość rezonansową obwodu. Wyznacz wartość skuteczną napięcia VL na cewce.

V = 1 V (rms)R = 50 ΩL = 200 mHC = 1 µF
VL = V
9.Silniki prądu stałegoŚredni
T (N·m)n (rpm)1 N·mn0​n = ?

Silnik prądu stałego (k = 0,2 N·m/A, Ra = 0,4 Ω) jest zasilany napięciem 24 V i napędza obciążenie o momencie 1 N·m. Wyznacz jego prędkość n w obr/min.

V = 24 Vk = 0,2 N·m/ARa = 0,4 ΩT = 1 N·m
n = rpm
10.Silniki prądu stałegoTrudny
+−240 VRa​ = 1,5 ΩM+−En = ?T = 20 N·m

Silnik obcowzbudny (k = 2 V·s/rad przy pełnym polu, Ra = 1,5 Ω, V = 240 V) napędza obciążenie o stałym momencie 20 N·m. Strumień wzbudzenia zmniejszono do 70 % wartości pełnej. Wyznacz nową prędkość n.

V = 240 Vk = 2 V·s/radRa = 1,5 ΩT = 20 N·mΦ = 70 %
n = rpm

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 13,26 kW

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Moc pozorna

S = √3·VL·IL = √3·208·40 = 14,41 kVA

Moc czynna

P = S·cos φ = 14,41·0,92 = 13,26 kW

Odpowiedź

P = 13,26 kW
2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: Cph = 366,9 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q1 = 120·tan(acos 0,75) = 120·0,8819 = 105,8 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,95) = 120·0,3287 = 39,44 kvar

Moc bierna z kondensatorów

QC = Q1 − Q2 = 66,39 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w trójkąt każdy kondensator jest włączony między dwa przewody fazowe.

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 22129/(377·400²) = 366,9 µF

Odpowiedź

Cph = 366,9 µF
3.Transformatory

Odpowiedź: I1 = 1,917 A

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Napięcie i prąd wtórny

V2 = 2300/10 = 230 V
I2 = 230/12 = 19,17 A

Prąd pierwotny

Idealny transformator nie ma strat: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I1 = I2/10 = 1,917 A

Odpowiedź

I1 = 1,917 A

Sprawdzenie: obciążenie widziane od strony pierwotnej to a²·RL = 1200 Ω, a 2300/1200 daje ten sam prąd.

4.Transformatory

Odpowiedź: Sη,max = 86,6 kVA

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·Pcu,fl. Sprawność η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), z Pout = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Straty w miedzi równe stratom w rdzeniu

x²·3600 = 1200 → x = √(1200/3600) = 0,5774

Obciążenie przy maksymalnej sprawności

Sη,max = x·S = 0,5774·150 = 86,6 kVA

Odpowiedź

Sη,max = 86,6 kVA
5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: Q = 9,686 kvar

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Kąt

φ = arccos(0,9) = 25,84°, tan φ = 0,4843

Moc bierna

Q = P·tan φ = 20·0,4843 = 9,686 kvar

Odpowiedź

Q = 9,686 kvar
6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: ΔP = 76,19 kW

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna istniejącego odbiornika

Q1 = 107·tan(arccos 0,8) = 80,25 kvar

Największa łączna moc czynna

Przy pełnym obciążeniu znamionowym S = Smax, a odbiornik rezystancyjny nie zmienia Q.

P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 80,25²) = 183,2 kW

Dodatkowa moc czynna

ΔP = 183,2 − 107 = 76,19 kW

Odpowiedź

ΔP = 76,19 kW
7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: C = 0,1013 µF

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(31416²·0,01) = 0,1013 µF

Odpowiedź

C = 0,1013 µF
8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: VL = 8,944 V

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Rezonans

W rezonansie reaktancje się znoszą, więc impedancja jest równa samemu R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·1·10⁻⁶) = 2236 rad/s
I = V/R = 1/50 = 0,02 A

Napięcie na cewce

XL = ω₀L = 2236·0,2 = 447,2 Ω
VL = I·XL = 0,02·447,2 = 8,944 V

Odpowiedź

VL = 8,944 V

To Q = 8,944 razy napięcie zasilania.

9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n = 1050 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prąd twornika

Ia = T/k = 1/0,2 = 5 A

Siła przeciwelektromotoryczna i prędkość

E = 24 − 5·0,4 = 22 V
ω = E/k = 110 rad/s → n = 1050 rpm

Odpowiedź

n = 1050 rpm
10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n = 1491 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Stała silnika przy osłabionym polu

k₂ = 0,7·2 = 1,4 V·s/rad

Nowy prąd twornika

Ia = 20/1,4 = 14,29 A

Nowa prędkość

ω = (240 − 14,29·1,5)/1,4 = 156,1 rad/s → n = 1491 rpm

Odpowiedź

n = 1491 rpm

Osłabianie pola pozwala napędowi prądu stałego pracować powyżej prędkości podstawowej.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems