Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa
a = N1/N2 = V1/V2
Stosunek prądów
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Prąd znamionowy
I = S/V
Impedancja sprowadzona
Z1′ = a²·ZL
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym
Pcu = x²·Pcu,fl
Sprawność
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Sprawność maksymalna
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z

Metoda

  1. Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
  2. Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
  3. Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
  4. Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika
V = E + IaRa
Siła przeciwelektromotoryczna i moment
E = k·ω, T = k·Ia
Prędkość
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Moce
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Rozruch
Istart = V/(Ra + Rst)
Zmienność prędkości
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maksymalna moc wytworzona
Pmax = V²/(4Ra)
Napęd z przerywaczem
Va = D·Vdc

Metoda

  1. Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja Ra i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
  2. Użyj V = E + Ia·Ra, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
  3. Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·Ia dla momentu, z ω = 2π·n/60.
  4. Dla mocy i sprawności zacznij od V·Ia, odejmij straty w miedzi Ia²·Ra, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni
ABCVL​ = 480 VIL​ = 75 Acos φ = 0,92indukcyjny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera prąd przewodowy 75 A ze źródła o napięciu przewodowym 480 V. Współczynnik mocy wynosi 0,92 (indukcyjny). Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

VL = 480 VIL = 75 Acos φ = 0,92
P = kW
2.Moc w układach trójfazowychTrudny
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 80 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z sieci 400 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,98 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w trójkąt. Wyznacz pojemność Cph każdego kondensatora w µF.

P = 80 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.TransformatoryŚredni
11000 V400 VIHV​ILV​ = ?10 kVA

Jednofazowy transformator 10 kVA, 11000/400 V pracuje przy obciążeniu znamionowym. Potraktuj go jako idealny. Wyznacz prąd ILV w uzwojeniu dolnego napięcia.

S = 10 kVAV1 = 11000 VV2 = 400 V
ILV = A
4.TransformatoryTrudny
25 kVA

Jednofazowy transformator 25 kVA ma straty w rdzeniu 125 W i straty w miedzi 250 W przy obciążeniu znamionowym. Przy jakim obciążeniu Sη,max, w kVA, jego sprawność jest najwyższa?

S = 25 kVAPcore = 125 WPcu,fl = 250 W
Sη,max = kVA
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
230 VR + jXP = 1035 W5 A

Odbiornik indukcyjny pobiera 5 A i 1035 W z jednofazowego zasilania 230 V (skuteczne). Zamodeluj go jako rezystancję R połączoną szeregowo z reaktancją X. Wyznacz X.

V = 230 VI = 5 AP = 1035 W
X = Ω
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
P = 50 kWQ1​S1​φ1​QC​

Odbiornik jednofazowy pobiera 50 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym) z zasilania 240 V, 50 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,95. Wyznacz moc bierną QC, którą musi dostarczyć kondensator.

P = 50 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,95V = 240 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.Impedancja i wskazy ACŚredni
12 V100 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 22 µF

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 22 µF
φ = °
8.Impedancja i wskazy ACTrudny
VfR = 5 ΩL = 5 mHC = 0,47 µF

Szeregowy obwód RLC ma R = 5 Ω, L = 5 mH i C = 0,47 µF. Wyznacz jego dobroć Q w rezonansie.

R = 5 ΩL = 5 mHC = 0,47 µF
Q =
9.Silniki prądu stałegoŚredni
T (N·m)n (rpm)6,4 N·mn0​nFL​

Silnik prądu stałego (k = 0,8 V·s/rad, Ra = 1 Ω) jest zasilany napięciem 220 V. Przy pełnym obciążeniu pobiera 8 A. Pomijając prąd biegu jałowego, wyznacz jego zmienność prędkości SR = (n₀ − nFL)/nFL w procentach.

V = 220 Vk = 0,8 V·s/radRa = 1 ΩIFL = 8 A
SR = %
10.Silniki prądu stałegoTrudny
+−220 VRs​ = ?Ra​ = 0,25 ΩM+−En = 600 rpmT = 60 N·m

Silnik prądu stałego (k = 2 V·s/rad, Ra = 0,25 Ω) zasilany stałym napięciem 220 V napędza obciążenie 60 N·m. Wyznacz rezystancję szeregową Rs, która zwalnia go do 600 obr/min.

V = 220 Vk = 2 V·s/radRa = 0,25 ΩT = 60 N·mn = 600 rpm
Rs = Ω

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 57,37 kW

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Moc pozorna

S = √3·VL·IL = √3·480·75 = 62,35 kVA

Moc czynna

P = S·cos φ = 62,35·0,92 = 57,37 kW

Odpowiedź

P = 57,37 kW
2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: Cph = 427,1 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q1 = 80·tan(acos 0,65) = 80·1,169 = 93,53 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0,98) = 80·0,2031 = 16,24 kvar

Moc bierna z kondensatorów

QC = Q1 − Q2 = 77,29 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w trójkąt każdy kondensator jest włączony między dwa przewody fazowe.

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 25762/(377·400²) = 427,1 µF

Odpowiedź

Cph = 427,1 µF
3.Transformatory

Odpowiedź: ILV = 25 A

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Prąd znamionowy

Oba uzwojenia przenoszą tę samą moc pozorną.

ILV = S/V = 10000/400 = 25 A

Odpowiedź

ILV = 25 A
4.Transformatory

Odpowiedź: Sη,max = 17,68 kVA

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·Pcu,fl. Sprawność η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), z Pout = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Straty w miedzi równe stratom w rdzeniu

x²·250 = 125 → x = √(125/250) = 0,7071

Obciążenie przy maksymalnej sprawności

Sη,max = x·S = 0,7071·25 = 17,68 kVA

Odpowiedź

Sη,max = 17,68 kVA
5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: X = 20,05 Ω

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Rezystancja z mocy czynnej

R = P/I² = 1035/5² = 41,4 Ω

Reaktancja z impedancji

|Z| = V/I = 230/5 = 46 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(46² − 41,4²) = 20,05 Ω

Odpowiedź

X = 20,05 Ω
6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: QC = 27,66 kvar

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(41,41°) = 44,1 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(18,19°) = 16,43 kvar
QC = Q1 − Q2 = 27,66 kvar

Odpowiedź

QC = 27,66 kvar
7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = −30,87 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,02 = 12,57 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−59,78)²) = 116,5 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−59,78/100) = −30,87°

Odpowiedź

φ = −30,87°
8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: Q = 20,63

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Częstotliwość rezonansowa

f0 = 1/(2π·√(0,005·0,47·10⁻⁶)) = 3283 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,005/(0,47·10⁻⁶)) = 20,63

Odpowiedź

Q = 20,63
9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: SR = 3,774 %

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prędkość na biegu jałowym i przy pełnym obciążeniu

n₀ = 60·220/(2π·0,8) = 2626 rpm
nFL = 60·(220 − 8·1)/(2π·0,8) = 2531 rpm

Zmienność prędkości

SR = (2626 − 2531)/2531·100 = 3,774 %

Odpowiedź

SR = 3,774 %
10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: Rs = 2,895 Ω

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prąd i siła przeciwelektromotoryczna

Ia = 60/2 = 30 A
E = 2·62,83 = 125,7 V

Rezystancja szeregowa

Ra + Rs = (220 − 125,7)/30 = 3,145 Ω
Rs = 2,895 Ω

Odpowiedź

Rs = 2,895 Ω

Rezystor wydziela 2605 W strat; przerywacz reguluje prędkość ze znacznie mniejszymi stratami.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems