Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Stosunek prądów: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Prąd znamionowy: I = S/V
Impedancja sprowadzona: Z₁′ = a²·Z_L
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym: P_cu = x²·P_cu,fl
Sprawność: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Sprawność maksymalna: x = √(P_core/P_cu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika: V = E + I_aR_a
Siła przeciwelektromotoryczna i moment: E = k·ω, T = k·I_a
Prędkość: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Moce: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Rozruch: I_start = V/(R_a + R_st)
Zmienność prędkości: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Maksymalna moc wytworzona: P_max = V²/(4R_a)
Napęd z przerywaczem: V_a = D·V_dc

Metoda

Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja R_a i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
Użyj V = E + I_a·R_a, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·I_a dla momentu, z ω = 2π·n/60.
Dla mocy i sprawności zacznij od V·I_a, odejmij straty w miedzi I_a²·R_a, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 75 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 93%, a współczynnik mocy 0,85 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 690 V. Wyznacz prąd przewodowy I_L.

P_out = 75 kWη = 93%cos φ = 0,85V_L = 690 V

I_L = A

2.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 60 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym) z sieci 415 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,98 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w trójkąt. Wyznacz pojemność C_ph każdego kondensatora w µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,98V_L = 415 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoryŚredni

Jednofazowy transformator 25 kVA, 4160/480 V pracuje przy obciążeniu znamionowym. Potraktuj go jako idealny. Wyznacz prąd I_HV w uzwojeniu górnego napięcia.

S = 25 kVAV₁ = 4160 VV₂ = 480 V

I_HV = A

4.TransformatoryTrudny

Jednofazowy transformator 75 kVA ma straty w rdzeniu 450 W. Przy obciążeniu znamionowym i współczynniku mocy 0,9 (indukcyjnym) jego sprawność wynosi 98,5%. Wyznacz straty w miedzi przy pełnym obciążeniu P_cu,fl w watach.

S = 75 kVAP_core = 450 Wpf = 0,9η = 98,5%

P_cu,fl = W

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Do jednofazowego zasilania 240 V podłączono równolegle dwa odbiorniki: odbiornik 11 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) oraz grzejnik 11 kW (współczynnik mocy równy 1). Wyznacz prąd całkowity I pobierany z zasilania.

V = 240 VP₁ = 11 kW, pf₁ = 0,65 indukcyjnyP₂ = 11 kW, pf₂ = 1

I = A

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Odbiornik jednofazowy pobiera 30 kW przy współczynniku mocy 0,6 (indukcyjnym) z zasilania 230 V, 60 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,98. Wyznacz nowy prąd linii I_new.

P = 30 kWpf₁ = 0,6pf₂ = 0,98V = 230 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz współczynnik mocy cos φ obwodu.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 22 µF

cos φ =

8.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

9.Silniki prądu stałegoŚredni

Silnik prądu stałego (k = 1,5 V·s/rad, R_a = 0,4 Ω) jest zasilany napięciem 220 V. Przy pełnym obciążeniu pobiera 40 A. Pomijając prąd biegu jałowego, wyznacz jego zmienność prędkości SR = (n₀ − n_FL)/n_FL w procentach.

V = 220 Vk = 1,5 V·s/radR_a = 0,4 ΩI_FL = 40 A

SR = %

10.Silniki prądu stałegoTrudny

Silnik obcowzbudny (k = 1,2 V·s/rad przy pełnym polu, R_a = 1,2 Ω, V = 220 V) napędza obciążenie o stałym momencie 18 N·m. Strumień wzbudzenia zmniejszono do 70 % wartości pełnej. Wyznacz nową prędkość n.

V = 220 Vk = 1,2 V·s/radR_a = 1,2 ΩT = 18 N·mΦ = 70 %

n = rpm

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: I_L = 79,39 A

Elektryczna moc wejściowa

P_in = P_out/η = 75/0,93 = 80,65 kW

Prąd linii

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 80645/(√3·690·0,85) = 79,39 A

Odpowiedź

I_L = 79,39 A

2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: C_ph = 209,1 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,75) = 60·0,8819 = 52,92 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,98) = 60·0,2031 = 12,18 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 40,73 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w trójkąt każdy kondensator jest włączony między dwa przewody fazowe.

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 13577/(377·415²) = 209,1 µF

Odpowiedź

C_ph = 209,1 µF

3.Transformatory

Odpowiedź: I_HV = 6,01 A

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Prąd znamionowy

Oba uzwojenia przenoszą tę samą moc pozorną.

I_HV = S/V = 25000/4160 = 6,01 A

Odpowiedź

I_HV = 6,01 A

4.Transformatory

Odpowiedź: P_cu,fl = 577,9 W

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·P_cu,fl. Sprawność η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), z P_out = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Moc wyjściowa i wejściowa

P_out = 75·0,9 = 67,5 kW

P_in = 67500/0,985 = 68528 W

Straty całkowite i straty w miedzi

P_loss = 68528 − 67500 = 1028 W

P_cu,fl = 1028 − 450 = 577,9 W

Odpowiedź

P_cu,fl = 577,9 W

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I = 106,2 A

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna każdego odbiornika

Odbiornik indukcyjny pobiera moc bierną (Q > 0); odbiornik pojemnościowy ją oddaje (Q < 0).

Q₁ = 11·tan(arccos 0,65) = 12,86 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Sumy

P = 11 + 11 = 22 kW

Q = 12,86 + 0 = 12,86 kvar

S = √(22² + 12,86²) = 25,48 kVA

Prąd całkowity

I = S/V = 25483/240 = 106,2 A

Odpowiedź

I = 106,2 A

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I_new = 133,1 A

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q₁ = P·tan φ₁ = 30·tan(53,13°) = 40 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 30·tan(11,48°) = 6,092 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 33,91 kvar

Nowy prąd linii

I_new = P/(V·cos φ₂) = 30000/(230·0,98) = 133,1 A

Odpowiedź

I_new = 133,1 A

7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: cos φ = 0,684

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

X_L = 125,7 Ω, X_C = 72,34 Ω

Impedancja

|Z| = √(50² + (53,32)²) = 73,1 Ω

Współczynnik mocy

cos φ = R/|Z| = 50/73,1 = 0,684

Obwód jest indukcyjny, więc współczynnik mocy ma charakter indukcyjny.

Odpowiedź

cos φ = 0,684

8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 75,87 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,2·22·10⁻⁶)) = 75,87 Hz

Odpowiedź

f₀ = 75,87 Hz

9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: SR = 7,843 %

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja R_a połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + I_a·R_a. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·I_a, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·I_a = T·ω; moc wejściowa to V·I_a, a różnicę stanowią straty w miedzi I_a²R_a oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − R_a·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/R_a. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/R_a jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prędkość na biegu jałowym i przy pełnym obciążeniu

n₀ = 60·220/(2π·1,5) = 1401 rpm

n_FL = 60·(220 − 40·0,4)/(2π·1,5) = 1299 rpm

Zmienność prędkości

SR = (1401 − 1299)/1299·100 = 7,843 %

Odpowiedź

SR = 7,843 %

10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n = 2209 rpm

Stała silnika przy osłabionym polu

k₂ = 0,7·1,2 = 0,84 V·s/rad

Nowy prąd twornika

I_a = 18/0,84 = 21,43 A

Nowa prędkość

ω = (220 − 21,43·1,2)/0,84 = 231,3 rad/s → n = 2209 rpm

Odpowiedź

n = 2209 rpm

Osłabianie pola pozwala napędowi prądu stałego pracować powyżej prędkości podstawowej.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems