Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Stosunek prądów: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Prąd znamionowy: I = S/V
Impedancja sprowadzona: Z₁′ = a²·Z_L
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym: P_cu = x²·P_cu,fl
Sprawność: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Sprawność maksymalna: x = √(P_core/P_cu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika: V = E + I_aR_a
Siła przeciwelektromotoryczna i moment: E = k·ω, T = k·I_a
Prędkość: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Moce: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Rozruch: I_start = V/(R_a + R_st)
Zmienność prędkości: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Maksymalna moc wytworzona: P_max = V²/(4R_a)
Napęd z przerywaczem: V_a = D·V_dc

Metoda

Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja R_a i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
Użyj V = E + I_a·R_a, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·I_a dla momentu, z ω = 2π·n/60.
Dla mocy i sprawności zacznij od V·I_a, odejmij straty w miedzi I_a²·R_a, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 7,5 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 92%, a współczynnik mocy 0,85 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 480 V. Wyznacz prąd przewodowy I_L.

P_out = 7,5 kWη = 92%cos φ = 0,85V_L = 480 V

I_L = A

2.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 200 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym) z sieci 480 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,95 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w gwiazdę. Wyznacz pojemność C_ph każdego kondensatora w µF.

P = 200 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,95V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoryŚredni

Wzmacniacz o rezystancji wyjściowej 7200 Ω zasila głośnik 50 Ω przez idealny transformator. Dla maksymalnego przekazu mocy głośnik musi być widziany od strony wzmacniacza jako 7200 Ω. Wyznacz przekładnię a = N₁/N₂.

R_s = 7200 ΩR_L = 50 Ω

a =

4.TransformatoryTrudny

Jednofazowy transformator 500 kVA ma straty w rdzeniu 2500 W. Przy obciążeniu znamionowym i współczynniku mocy 0,85 (indukcyjnym) jego sprawność wynosi 98,8%. Wyznacz straty w miedzi przy pełnym obciążeniu P_cu,fl w watach.

S = 500 kVAP_core = 2500 Wpf = 0,85η = 98,8%

P_cu,fl = W

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Do jednofazowego zasilania 400 V podłączono równolegle dwa odbiorniki: odbiornik 15 kW przy współczynniku mocy 0,7 (indukcyjnym) oraz odbiornik 19 kW przy współczynniku mocy 0,85 (pojemnościowym). Wyznacz prąd całkowity I pobierany z zasilania.

V = 400 VP₁ = 15 kW, pf₁ = 0,7 indukcyjnyP₂ = 19 kW, pf₂ = 0,85 pojemnościowy

I = A

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Transformator jednofazowy 50 kVA zasila odbiornik 33 kW przy współczynniku mocy 0,85 (indukcyjnym). Ile dodatkowej mocy czynnej ΔP można dołączyć jako odbiornik rezystancyjny (współczynnik mocy równy 1), zanim transformator osiągnie swoją moc znamionową w kVA?

S_max = 50 kVAP₁ = 33 kWpf₁ = 0,85

ΔP = kW

7.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz moc czynną P pobieraną z zasilania.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 100 µF

P = W

8.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

9.Silniki prądu stałegoŚredni

Silnik prądu stałego oddaje moc mechaniczną 0,5 kW przy 1000 obr/min. Wyznacz moment na wale T.

P = 0,5 kWn = 1000 rpm

T = N·m

10.Silniki prądu stałegoTrudny

Silnik prądu stałego 48 V ma rezystancję twornika 1 Ω. Wyznacz szeregowy rezystor rozruchowy R_st, który ogranicza prąd rozruchowy do 40 A.

V = 48 VR_a = 1 ΩI_max = 40 A

R_st = Ω

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: I_L = 11,54 A

Elektryczna moc wejściowa

P_in = P_out/η = 7,5/0,92 = 8,152 kW

Prąd linii

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 8152/(√3·480·0,85) = 11,54 A

Odpowiedź

I_L = 11,54 A

2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: C_ph = 1274 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,75) = 200·0,8819 = 176,4 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,95) = 200·0,3287 = 65,74 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 110,6 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w gwiazdę każdy kondensator jest włączony między przewód fazowy a punkt gwiazdowy.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 36882/(377·277,1²) = 1274 µF

Odpowiedź

C_ph = 1274 µF

3.Transformatory

Odpowiedź: a = 12

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Dopasuj sprowadzone obciążenie

a²·50 = 7200

a = √(7200/50) = √144 = 12

Odpowiedź

a = 12

4.Transformatory

Odpowiedź: P_cu,fl = 2662 W

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·P_cu,fl. Sprawność η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), z P_out = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Moc wyjściowa i wejściowa

P_out = 500·0,85 = 425 kW

P_in = 425000/0,988 = 430162 W

Straty całkowite i straty w miedzi

P_loss = 430162 − 425000 = 5162 W

P_cu,fl = 5162 − 2500 = 2662 W

Odpowiedź

P_cu,fl = 2662 W

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I = 85,46 A

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna każdego odbiornika

Odbiornik indukcyjny pobiera moc bierną (Q > 0); odbiornik pojemnościowy ją oddaje (Q < 0).

Q₁ = 15·tan(arccos 0,7) = 15,3 kvar

Q₂ = −19·tan(arccos 0,85) = −11,78 kvar

Sumy

P = 15 + 19 = 34 kW

Q = 15,3 + (−11,78) = 3,528 kvar

S = √(34² + 3,528²) = 34,18 kVA

Prąd całkowity

I = S/V = 34183/400 = 85,46 A

Odpowiedź

I = 85,46 A

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: ΔP = 12,63 kW

Moc bierna istniejącego odbiornika

Q₁ = 33·tan(arccos 0,85) = 20,45 kvar

Największa łączna moc czynna

Przy pełnym obciążeniu znamionowym S = S_max, a odbiornik rezystancyjny nie zmienia Q.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(50² − 20,45²) = 45,63 kW

Dodatkowa moc czynna

ΔP = 45,63 − 33 = 12,63 kW

Odpowiedź

ΔP = 12,63 kW

7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: P = 313 W

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

X_L = 31,42 Ω, X_C = 15,92 Ω

Impedancja

|Z| = √(40² + (15,5)²) = 42,9 Ω

Moc czynna

Cewki i kondensatory tylko gromadzą i oddają energię; całą moc czynną pobiera rezystor.

I = 120/42,9 = 2,797 A

P = I²·R = 2,797²·40 = 313 W

Odpowiedź

P = 313 W

8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 103,8 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·47·10⁻⁶)) = 103,8 Hz

Odpowiedź

f₀ = 103,8 Hz

9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: T = 4,775 N·m

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja R_a połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + I_a·R_a. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·I_a, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·I_a = T·ω; moc wejściowa to V·I_a, a różnicę stanowią straty w miedzi I_a²R_a oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − R_a·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/R_a. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/R_a jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prędkość w rad/s

ω = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

Moment skręcający

T = P/ω = 500/104,7 = 4,775 N·m

Odpowiedź

T = 4,775 N·m

10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: R_st = 0,2 Ω

Rezystancja całkowita

R_a + R_st = 48/40 = 1,2 Ω

Rezystor rozruchowy

R_st = 1,2 − 1 = 0,2 Ω

Odpowiedź

R_st = 0,2 Ω

Rezystor jest wyłączany stopniowo, w miarę jak silnik przyspiesza, a siła przeciwelektromotoryczna rośnie.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems