Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Stosunek prądów: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Prąd znamionowy: I = S/V
Impedancja sprowadzona: Z₁′ = a²·Z_L
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym: P_cu = x²·P_cu,fl
Sprawność: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Sprawność maksymalna: x = √(P_core/P_cu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika: V = E + I_aR_a
Siła przeciwelektromotoryczna i moment: E = k·ω, T = k·I_a
Prędkość: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Moce: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Rozruch: I_start = V/(R_a + R_st)
Zmienność prędkości: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Maksymalna moc wytworzona: P_max = V²/(4R_a)
Napęd z przerywaczem: V_a = D·V_dc

Metoda

Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja R_a i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
Użyj V = E + I_a·R_a, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·I_a dla momentu, z ω = 2π·n/60.
Dla mocy i sprawności zacznij od V·I_a, odejmij straty w miedzi I_a²·R_a, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera prąd przewodowy 75 A ze źródła o napięciu przewodowym 400 V. Współczynnik mocy wynosi 0,88 (indukcyjny). Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

V_L = 400 VI_L = 75 Acos φ = 0,88

P = kW

2.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 50 kW przy współczynniku mocy 0,78 (indukcyjnym) z sieci 690 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,98 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w trójkąt. Wyznacz pojemność C_ph każdego kondensatora w µF.

P = 50 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,98V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoryŚredni

Do uzwojenia pierwotnego idealnego transformatora o przekładni N₁:N₂ = 4:1 przyłożono napięcie 960 V. Do uzwojenia wtórnego dołączono rezystor 30 Ω. Wyznacz prąd pierwotny I₁.

N₁:N₂ = 4:1V₁ = 960 VR_L = 30 Ω

I₁ = A

4.TransformatoryTrudny

Jednofazowy transformator 250 kVA ma straty w rdzeniu 2000 W. Przy obciążeniu znamionowym i współczynniku mocy 0,85 (indukcyjnym) jego sprawność wynosi 98,2%. Wyznacz straty w miedzi przy pełnym obciążeniu P_cu,fl w watach.

S = 250 kVAP_core = 2000 Wpf = 0,85η = 98,2%

P_cu,fl = W

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Silnik jednofazowy pobiera 3 kW przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym) z zasilania 230 V. Wyznacz prąd linii I.

P = 3 kWpf = 0,8V = 230 V

I = A

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Odbiornik jednofazowy pobiera 45 kW przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym) z zasilania 240 V, 50 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,92. Wyznacz nowy prąd linii I_new.

P = 45 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,92V = 240 Vf = 50 Hz

I_new = A

7.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 100 µF

φ = °

8.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 230 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

9.Silniki prądu stałegoŚredni

Silnik prądu stałego oddaje moc mechaniczną 5,5 kW przy 3000 obr/min. Wyznacz moment na wale T.

P = 5,5 kWn = 3000 rpm

T = N·m

10.Silniki prądu stałegoTrudny

Silnik prądu stałego (k = 0,5 V·s/rad, R_a = 2 Ω) zasilany stałym napięciem 48 V napędza obciążenie 1 N·m. Wyznacz rezystancję szeregową R_s, która zwalnia go do 400 obr/min.

V = 48 Vk = 0,5 V·s/radR_a = 2 ΩT = 1 N·mn = 400 rpm

R_s = Ω

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 45,73 kW

Moc pozorna

S = √3·V_L·I_L = √3·400·75 = 51,96 kVA

Moc czynna

P = S·cos φ = 51,96·0,88 = 45,73 kW

Odpowiedź

P = 45,73 kW

2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: C_ph = 55,64 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,78) = 50·0,8023 = 40,11 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,98) = 50·0,2031 = 10,15 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 29,96 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w trójkąt każdy kondensator jest włączony między dwa przewody fazowe.

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 9987/(377·690²) = 55,64 µF

Odpowiedź

C_ph = 55,64 µF

3.Transformatory

Odpowiedź: I₁ = 2 A

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Napięcie i prąd wtórny

V₂ = 960/4 = 240 V

I₂ = 240/30 = 8 A

Prąd pierwotny

Idealny transformator nie ma strat: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/4 = 2 A

Odpowiedź

I₁ = 2 A

Sprawdzenie: obciążenie widziane od strony pierwotnej to a²·R_L = 480 Ω, a 960/480 daje ten sam prąd.

4.Transformatory

Odpowiedź: P_cu,fl = 1895 W

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·P_cu,fl. Sprawność η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), z P_out = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Moc wyjściowa i wejściowa

P_out = 250·0,85 = 212,5 kW

P_in = 212500/0,982 = 216395 W

Straty całkowite i straty w miedzi

P_loss = 216395 − 212500 = 3895 W

P_cu,fl = 3895 − 2000 = 1895 W

Odpowiedź

P_cu,fl = 1895 W

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I = 16,3 A

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Prąd linii

Pracę wykonuje tylko moc czynna, więc podziel przez współczynnik mocy.

I = P/(V·cos φ) = 3000/(230·0,8) = 16,3 A

Odpowiedź

I = 16,3 A

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I_new = 203,8 A

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q₁ = P·tan φ₁ = 45·tan(36,87°) = 33,75 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 45·tan(23,07°) = 19,17 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 14,58 kvar

Nowy prąd linii

I_new = P/(V·cos φ₂) = 45000/(240·0,92) = 203,8 A

Odpowiedź

I_new = 203,8 A

7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 57,17 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,05 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (15,5)²) = 18,45 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(15,5/10) = 57,17°

Odpowiedź

φ = 57,17°

8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 71,18 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·100·10⁻⁶)) = 71,18 Hz

Odpowiedź

f₀ = 71,18 Hz

9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: T = 17,51 N·m

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja R_a połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + I_a·R_a. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·I_a, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·I_a = T·ω; moc wejściowa to V·I_a, a różnicę stanowią straty w miedzi I_a²R_a oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − R_a·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/R_a. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/R_a jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prędkość w rad/s

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

Moment skręcający

T = P/ω = 5500/314,2 = 17,51 N·m

Odpowiedź

T = 17,51 N·m

10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: R_s = 11,53 Ω

Prąd i siła przeciwelektromotoryczna

I_a = 1/0,5 = 2 A

E = 0,5·41,89 = 20,94 V

Rezystancja szeregowa

R_a + R_s = (48 − 20,94)/2 = 13,53 Ω

R_s = 11,53 Ω

Odpowiedź

R_s = 11,53 Ω

Rezystor wydziela 46,11 W strat; przerywacz reguluje prędkość ze znacznie mniejszymi stratami.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems