Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Stosunek prądów: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Prąd znamionowy: I = S/V
Impedancja sprowadzona: Z₁′ = a²·Z_L
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym: P_cu = x²·P_cu,fl
Sprawność: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Sprawność maksymalna: x = √(P_core/P_cu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika: V = E + I_aR_a
Siła przeciwelektromotoryczna i moment: E = k·ω, T = k·I_a
Prędkość: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Moce: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Rozruch: I_start = V/(R_a + R_st)
Zmienność prędkości: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Maksymalna moc wytworzona: P_max = V²/(4R_a)
Napęd z przerywaczem: V_a = D·V_dc

Metoda

Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja R_a i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
Użyj V = E + I_a·R_a, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·I_a dla momentu, z ω = 2π·n/60.
Dla mocy i sprawności zacznij od V·I_a, odejmij straty w miedzi I_a²·R_a, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 7,5 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 95%, a współczynnik mocy 0,88 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 690 V. Wyznacz prąd przewodowy I_L.

P_out = 7,5 kWη = 95%cos φ = 0,88V_L = 690 V

I_L = A

2.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 200 kW przy współczynniku mocy 0,72 (indukcyjnym) z sieci 690 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,98 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną Q_C, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.

P = 200 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,98V_L = 690 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

3.TransformatoryŚredni

Do uzwojenia pierwotnego idealnego transformatora o przekładni N₁:N₂ = 5:1 przyłożono napięcie 600 V. Do uzwojenia wtórnego dołączono rezystor 20 Ω. Wyznacz prąd pierwotny I₁.

N₁:N₂ = 5:1V₁ = 600 VR_L = 20 Ω

I₁ = A

4.TransformatoryTrudny

Jednofazowy transformator 75 kVA ma straty w rdzeniu 600 W i straty w miedzi 900 W przy obciążeniu znamionowym. Dostarcza 25% swojej znamionowej mocy kVA przy współczynniku mocy 0,9 (indukcyjnym). Wyznacz całkowite straty P_loss w watach przy tym obciążeniu.

S = 75 kVAP_core = 600 WP_cu,fl = 900 Wx = 0,25pf = 0,9

P_loss = W

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Silnik jednofazowy pobiera 26 kW przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym) z zasilania 240 V. Wyznacz prąd linii I.

P = 26 kWpf = 0,8V = 240 V

I = A

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Odbiornik jednofazowy pobiera 45 kW przy współczynniku mocy 0,7 (indukcyjnym) z zasilania 240 V, 60 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,95. Wyznacz potrzebną pojemność C.

P = 45 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,95V = 240 Vf = 60 Hz

C = µF

7.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz współczynnik mocy cos φ obwodu.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 47 µF

cos φ =

8.Impedancja i wskazy ACTrudny

Rezystor R₁ jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R₂ i kondensatora C i podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR₁ = 25 ΩR₂ = 150 ΩC = 22 µF

I = A

9.Silniki prądu stałegoŚredni

Silnik prądu stałego (k = 0,75 N·m/A, R_a = 0,5 Ω) jest zasilany napięciem 220 V i napędza obciążenie o momencie 11,25 N·m. Wyznacz jego prędkość n w obr/min.

V = 220 Vk = 0,75 N·m/AR_a = 0,5 ΩT = 11,25 N·m

n = rpm

10.Silniki prądu stałegoTrudny

Silnik prądu stałego (k = 1,2 V·s/rad, R_a = 2 Ω) zasilany stałym napięciem 110 V napędza obciążenie 4,8 N·m. Wyznacz rezystancję szeregową R_s, która zwalnia go do 400 obr/min.

V = 110 Vk = 1,2 V·s/radR_a = 2 ΩT = 4,8 N·mn = 400 rpm

R_s = Ω

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: I_L = 7,507 A

Elektryczna moc wejściowa

P_in = P_out/η = 7,5/0,95 = 7,895 kW

Prąd linii

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 7895/(√3·690·0,88) = 7,507 A

Odpowiedź

I_L = 7,507 A

2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: Q_C = 152,2 kvar

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,72) = 200·0,9639 = 192,8 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,98) = 200·0,2031 = 40,61 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 152,2 kvar

Odpowiedź

Q_C = 152,2 kvar

3.Transformatory

Odpowiedź: I₁ = 1,2 A

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Napięcie i prąd wtórny

V₂ = 600/5 = 120 V

I₂ = 120/20 = 6 A

Prąd pierwotny

Idealny transformator nie ma strat: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/5 = 1,2 A

Odpowiedź

I₁ = 1,2 A

Sprawdzenie: obciążenie widziane od strony pierwotnej to a²·R_L = 500 Ω, a 600/500 daje ten sam prąd.

4.Transformatory

Odpowiedź: P_loss = 656,3 W

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·P_cu,fl. Sprawność η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), z P_out = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Straty w miedzi przy tym obciążeniu

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,0625·900 = 56,25 W

Straty całkowite

Straty w rdzeniu są takie same przy każdym obciążeniu.

P_loss = 600 + 56,25 = 656,3 W

Odpowiedź

P_loss = 656,3 W

Sprawność przy tym obciążeniu wynosi η = 96,26%.

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I = 135,4 A

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Prąd linii

Pracę wykonuje tylko moc czynna, więc podziel przez współczynnik mocy.

I = P/(V·cos φ) = 26000/(240·0,8) = 135,4 A

Odpowiedź

I = 135,4 A

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: C = 1433 µF

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q₁ = P·tan φ₁ = 45·tan(45,57°) = 45,91 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 45·tan(18,19°) = 14,79 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 31,12 kvar

Pojemność

Kondensator dołączony do zasilania dostarcza Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 31118/(2π·60·240²) = 1433 µF

Odpowiedź

C = 1433 µF

7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: cos φ = 0,4783

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

X_L = 125,7 Ω, X_C = 33,86 Ω

Impedancja

|Z| = √(50² + (91,8)²) = 104,5 Ω

Współczynnik mocy

cos φ = R/|Z| = 50/104,5 = 0,4783

Obwód jest indukcyjny, więc współczynnik mocy ma charakter indukcyjny.

Odpowiedź

cos φ = 0,4783

8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 1,078 A

Reaktancja

X_C = 1/(2π·60·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Z_p na część rzeczywistą i urojoną.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 58,88 − j73,25 Ω

Impedancja całkowita

Z = 25 + 58,88 − j73,25 = 83,88 − j73,25 Ω

|Z| = √(83,88² + 73,25²) = 111,4 Ω

Prąd

I = V/|Z| = 120/111,4 = 1,078 A

Odpowiedź

I = 1,078 A

9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n = 2706 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja R_a połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + I_a·R_a. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·I_a, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·I_a = T·ω; moc wejściowa to V·I_a, a różnicę stanowią straty w miedzi I_a²R_a oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − R_a·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/R_a. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/R_a jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prąd twornika

I_a = T/k = 11,25/0,75 = 15 A

Siła przeciwelektromotoryczna i prędkość

E = 220 − 15·0,5 = 212,5 V

ω = E/k = 283,3 rad/s → n = 2706 rpm

Odpowiedź

n = 2706 rpm

10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: R_s = 12,93 Ω

Prąd i siła przeciwelektromotoryczna

I_a = 4,8/1,2 = 4 A

E = 1,2·41,89 = 50,27 V

Rezystancja szeregowa

R_a + R_s = (110 − 50,27)/4 = 14,93 Ω

R_s = 12,93 Ω

Odpowiedź

R_s = 12,93 Ω

Rezystor wydziela 206,9 W strat; przerywacz reguluje prędkość ze znacznie mniejszymi stratami.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems