Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Stosunek prądów: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Prąd znamionowy: I = S/V
Impedancja sprowadzona: Z₁′ = a²·Z_L
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym: P_cu = x²·P_cu,fl
Sprawność: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Sprawność maksymalna: x = √(P_core/P_cu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika: V = E + I_aR_a
Siła przeciwelektromotoryczna i moment: E = k·ω, T = k·I_a
Prędkość: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Moce: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Rozruch: I_start = V/(R_a + R_st)
Zmienność prędkości: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Maksymalna moc wytworzona: P_max = V²/(4R_a)
Napęd z przerywaczem: V_a = D·V_dc

Metoda

Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja R_a i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
Użyj V = E + I_a·R_a, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·I_a dla momentu, z ω = 2π·n/60.
Dla mocy i sprawności zacznij od V·I_a, odejmij straty w miedzi I_a²·R_a, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera prąd przewodowy 20 A ze źródła o napięciu przewodowym 208 V. Współczynnik mocy wynosi 0,92 (indukcyjny). Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

V_L = 208 VI_L = 20 Acos φ = 0,92

P = kW

2.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 50 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z sieci 400 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,9 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w trójkąt. Wyznacz pojemność C_ph każdego kondensatora w µF.

P = 50 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoryŚredni

Do uzwojenia pierwotnego idealnego transformatora o przekładni N₁:N₂ = 2:1 przyłożono napięcie 240 V. Do uzwojenia wtórnego dołączono rezystor 60 Ω. Wyznacz prąd pierwotny I₁.

N₁:N₂ = 2:1V₁ = 240 VR_L = 60 Ω

I₁ = A

4.TransformatoryTrudny

Jednofazowy transformator 200 kVA ma straty w rdzeniu 1000 W i straty w miedzi 4000 W przy obciążeniu znamionowym. Dostarcza 25% swojej znamionowej mocy kVA przy współczynniku mocy 0,85 (indukcyjnym). Wyznacz całkowite straty P_loss w watach przy tym obciążeniu.

S = 200 kVAP_core = 1000 WP_cu,fl = 4000 Wx = 0,25pf = 0,85

P_loss = W

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Do jednofazowego zasilania 240 V podłączono równolegle dwa odbiorniki: odbiornik 3 kW przy współczynniku mocy 0,7 (indukcyjnym) oraz odbiornik 8 kW przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym). Wyznacz prąd całkowity I pobierany z zasilania.

V = 240 VP₁ = 3 kW, pf₁ = 0,7 indukcyjnyP₂ = 8 kW, pf₂ = 0,8 indukcyjny

I = A

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Odbiornik jednofazowy pobiera 30 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z zasilania 240 V, 60 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,95. Wyznacz nowy prąd linii I_new.

P = 30 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,95V = 240 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 50 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 100 µF

φ = °

8.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 120 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 1 µF

f₀ = Hz

9.Silniki prądu stałegoŚredni

Silnik prądu stałego o k = 1 V·s/rad jest zasilany napięciem 120 V. Pomijając wszystkie straty na biegu jałowym, wyznacz jego prędkość biegu jałowego n₀ w obr/min.

V = 120 Vk = 1 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Silniki prądu stałegoTrudny

Silnik prądu stałego (k = 1,5 V·s/rad, R_a = 1,5 Ω) zasilany stałym napięciem 240 V napędza obciążenie 22,5 N·m. Wyznacz rezystancję szeregową R_s, która zwalnia go do 600 obr/min.

V = 240 Vk = 1,5 V·s/radR_a = 1,5 ΩT = 22,5 N·mn = 600 rpm

R_s = Ω

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 6,629 kW

Moc pozorna

S = √3·V_L·I_L = √3·208·20 = 7,205 kVA

Moc czynna

P = S·cos φ = 7,205·0,92 = 6,629 kW

Odpowiedź

P = 6,629 kW

2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: C_ph = 227,1 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,65) = 50·1,169 = 58,46 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,9) = 50·0,4843 = 24,22 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 34,24 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w trójkąt każdy kondensator jest włączony między dwa przewody fazowe.

V = 400 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 11413/(314,2·400²) = 227,1 µF

Odpowiedź

C_ph = 227,1 µF

3.Transformatory

Odpowiedź: I₁ = 1 A

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Napięcie i prąd wtórny

V₂ = 240/2 = 120 V

I₂ = 120/60 = 2 A

Prąd pierwotny

Idealny transformator nie ma strat: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/2 = 1 A

Odpowiedź

I₁ = 1 A

Sprawdzenie: obciążenie widziane od strony pierwotnej to a²·R_L = 240 Ω, a 240/240 daje ten sam prąd.

4.Transformatory

Odpowiedź: P_loss = 1250 W

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·P_cu,fl. Sprawność η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), z P_out = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Straty w miedzi przy tym obciążeniu

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,0625·4000 = 250 W

Straty całkowite

Straty w rdzeniu są takie same przy każdym obciążeniu.

P_loss = 1000 + 250 = 1250 W

Odpowiedź

P_loss = 1250 W

Sprawność przy tym obciążeniu wynosi η = 97,14%.

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I = 59,38 A

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna każdego odbiornika

Odbiornik indukcyjny pobiera moc bierną (Q > 0); odbiornik pojemnościowy ją oddaje (Q < 0).

Q₁ = 3·tan(arccos 0,7) = 3,061 kvar

Q₂ = 8·tan(arccos 0,8) = 6 kvar

Sumy

P = 3 + 8 = 11 kW

Q = 3,061 + 6 = 9,061 kvar

S = √(11² + 9,061²) = 14,25 kVA

Prąd całkowity

I = S/V = 14251/240 = 59,38 A

Odpowiedź

I = 59,38 A

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I_new = 131,6 A

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q₁ = P·tan φ₁ = 30·tan(49,46°) = 35,07 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 30·tan(18,19°) = 9,861 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 25,21 kvar

Nowy prąd linii

I_new = P/(V·cos φ₂) = 30000/(240·0,95) = 131,6 A

Odpowiedź

I_new = 131,6 A

7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 43,05 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (46,71)²) = 68,42 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(46,71/50) = 43,05°

Odpowiedź

φ = 43,05°

8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 503,3 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·1·10⁻⁶)) = 503,3 Hz

Odpowiedź

f₀ = 503,3 Hz

9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n₀ = 1146 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja R_a połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + I_a·R_a. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·I_a, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·I_a = T·ω; moc wejściowa to V·I_a, a różnicę stanowią straty w miedzi I_a²R_a oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − R_a·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/R_a. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/R_a jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prędkość biegu jałowego

ω₀ = V/k = 120/1 = 120 rad/s

n₀ = 60·120/(2π) = 1146 rpm

Odpowiedź

n₀ = 1146 rpm

10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: R_s = 8,217 Ω

Prąd i siła przeciwelektromotoryczna

I_a = 22,5/1,5 = 15 A

E = 1,5·62,83 = 94,25 V

Rezystancja szeregowa

R_a + R_s = (240 − 94,25)/15 = 9,717 Ω

R_s = 8,217 Ω

Odpowiedź

R_s = 8,217 Ω

Rezystor wydziela 1849 W strat; przerywacz reguluje prędkość ze znacznie mniejszymi stratami.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems