Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa
a = N1/N2 = V1/V2
Stosunek prądów
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Prąd znamionowy
I = S/V
Impedancja sprowadzona
Z1′ = a²·ZL
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym
Pcu = x²·Pcu,fl
Sprawność
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Sprawność maksymalna
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z

Metoda

  1. Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
  2. Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
  3. Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
  4. Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika
V = E + IaRa
Siła przeciwelektromotoryczna i moment
E = k·ω, T = k·Ia
Prędkość
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Moce
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Rozruch
Istart = V/(Ra + Rst)
Zmienność prędkości
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maksymalna moc wytworzona
Pmax = V²/(4Ra)
Napęd z przerywaczem
Va = D·Vdc

Metoda

  1. Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja Ra i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
  2. Użyj V = E + Ia·Ra, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
  3. Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·Ia dla momentu, z ω = 2π·n/60.
  4. Dla mocy i sprawności zacznij od V·Ia, odejmij straty w miedzi Ia²·Ra, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M90 kW, η = 91%cos φ = 0,88

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 90 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 91%, a współczynnik mocy 0,88 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 400 V. Wyznacz prąd przewodowy IL.

Pout = 90 kWη = 91%cos φ = 0,88VL = 400 V
IL = A
2.Moc w układach trójfazowychTrudny
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 200 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym) z sieci 690 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,9 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną QC, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.

P = 200 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3.TransformatoryŚredni
75 Ω61

Do uzwojenia wtórnego idealnego transformatora o przekładni N₁:N₂ = 6:1 dołączono rezystor 75 Ω. Wyznacz rezystancję R1′ widzianą od strony uzwojenia pierwotnego.

N1:N2 = 6:1RL = 75 Ω
R1′ = Ω
4.TransformatoryTrudny
150 kVA

Jednofazowy transformator 150 kVA ma straty w rdzeniu 600 W i straty w miedzi 2400 W przy obciążeniu znamionowym. Przy jakim obciążeniu Sη,max, w kVA, jego sprawność jest najwyższa?

S = 150 kVAPcore = 600 WPcu,fl = 2400 W
Sη,max = kVA
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
230 VZ5 + j12 ΩI

Odbiornik o impedancji Z = 5 + j12 Ω jest podłączony do jednofazowego zasilania 230 V (skuteczne). Wyznacz pobieraną przez niego moc czynną P.

V = 230 VZ = 5 + j12 Ω
P = W
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
P1​ = 20 kWQ1​S1​φ

Transformator jednofazowy 50 kVA zasila odbiornik 20 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym). Ile dodatkowej mocy czynnej ΔP można dołączyć jako odbiornik rezystancyjny (współczynnik mocy równy 1), zanim transformator osiągnie swoją moc znamionową w kVA?

Smax = 50 kVAP1 = 20 kWpf1 = 0,65
ΔP = kW
7.Impedancja i wskazy ACŚredni
12 V500 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 100 µFI

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz współczynnik mocy cos φ obwodu.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 100 µF
cos φ =
8.Impedancja i wskazy ACTrudny
VfR = 10 ΩL = 50 mHC = 0,047 µF

Szeregowy obwód RLC ma R = 10 Ω, L = 50 mH i C = 0,047 µF. Wyznacz jego dobroć Q w rezonansie.

R = 10 ΩL = 50 mHC = 0,047 µF
Q =
9.Silniki prądu stałegoŚredni
T (N·m)n (rpm)Tst​ = ?n0​

Silnik prądu stałego o k = 0,3 N·m/A i Ra = 0,25 Ω jest dołączony do napięcia 24 V. Wyznacz jego moment utyku Tstall, czyli moment przy zerowej prędkości.

V = 24 Vk = 0,3 N·m/ARa = 0,25 Ω
Tstall = N·m
10.Silniki prądu stałegoTrudny
+−110 VRa​ = 0,2 ΩM+−En = ?T = 48 N·m

Silnik obcowzbudny (k = 1,2 V·s/rad przy pełnym polu, Ra = 0,2 Ω, V = 110 V) napędza obciążenie o stałym momencie 48 N·m. Strumień wzbudzenia zmniejszono do 85 % wartości pełnej. Wyznacz nową prędkość n.

V = 110 Vk = 1,2 V·s/radRa = 0,2 ΩT = 48 N·mΦ = 85 %
n = rpm

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: IL = 162,2 A

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Elektryczna moc wejściowa

Pin = Pout/η = 90/0,91 = 98,9 kW

Prąd linii

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 98901/(√3·400·0,88) = 162,2 A

Odpowiedź

IL = 162,2 A
2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: QC = 79,52 kvar

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q1 = 200·tan(acos 0,75) = 200·0,8819 = 176,4 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,9) = 200·0,4843 = 96,86 kvar

Moc bierna z kondensatorów

QC = Q1 − Q2 = 79,52 kvar

Odpowiedź

QC = 79,52 kvar
3.Transformatory

Odpowiedź: R1′ = 2700 Ω

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Rezystancja sprowadzona

Napięcie rośnie a razy, a prąd maleje a razy, więc stosunek V/I rośnie a² razy.

R1′ = a²·RL = 6²·75 = 2700 Ω

Odpowiedź

R1′ = 2700 Ω
4.Transformatory

Odpowiedź: Sη,max = 75 kVA

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·Pcu,fl. Sprawność η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), z Pout = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Straty w miedzi równe stratom w rdzeniu

x²·2400 = 600 → x = √(600/2400) = 0,5

Obciążenie przy maksymalnej sprawności

Sη,max = x·S = 0,5·150 = 75 kVA

Odpowiedź

Sη,max = 75 kVA
5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: P = 1565 W

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Prąd

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω
I = V/|Z| = 230/13 = 17,69 A

Moc czynna

P = I²·R = 17,69²·5 = 1565 W

Odpowiedź

P = 1565 W
6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: ΔP = 24,2 kW

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna istniejącego odbiornika

Q1 = 20·tan(arccos 0,65) = 23,38 kvar

Największa łączna moc czynna

Przy pełnym obciążeniu znamionowym S = Smax, a odbiornik rezystancyjny nie zmienia Q.

P = √(Smax² − Q1²) = √(50² − 23,38²) = 44,2 kW

Dodatkowa moc czynna

ΔP = 44,2 − 20 = 24,2 kW

Odpowiedź

ΔP = 24,2 kW
7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: cos φ = 0,158

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

XL = 628,3 Ω, XC = 3,183 Ω

Impedancja

|Z| = √(100² + (625,1)²) = 633,1 Ω

Współczynnik mocy

cos φ = R/|Z| = 100/633,1 = 0,158
Obwód jest indukcyjny, więc współczynnik mocy ma charakter indukcyjny.

Odpowiedź

cos φ = 0,158
8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: Q = 103,1

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Częstotliwość rezonansowa

f0 = 1/(2π·√(0,05·0,047·10⁻⁶)) = 3283 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,05/(0,047·10⁻⁶)) = 103,1

Odpowiedź

Q = 103,1
9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: Tstall = 28,8 N·m

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prąd utyku

Ia = V/Ra = 24/0,25 = 96 A

Moment utyku

Tstall = 0,3·96 = 28,8 N·m

Odpowiedź

Tstall = 28,8 N·m
10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n = 941,7 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Stała silnika przy osłabionym polu

k₂ = 0,85·1,2 = 1,02 V·s/rad

Nowy prąd twornika

Ia = 48/1,02 = 47,06 A

Nowa prędkość

ω = (110 − 47,06·0,2)/1,02 = 98,62 rad/s → n = 941,7 rpm

Odpowiedź

n = 941,7 rpm

Osłabianie pola pozwala napędowi prądu stałego pracować powyżej prędkości podstawowej.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems