Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Stosunek prądów: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Prąd znamionowy: I = S/V
Impedancja sprowadzona: Z₁′ = a²·Z_L
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym: P_cu = x²·P_cu,fl
Sprawność: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Sprawność maksymalna: x = √(P_core/P_cu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika: V = E + I_aR_a
Siła przeciwelektromotoryczna i moment: E = k·ω, T = k·I_a
Prędkość: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Moce: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Rozruch: I_start = V/(R_a + R_st)
Zmienność prędkości: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Maksymalna moc wytworzona: P_max = V²/(4R_a)
Napęd z przerywaczem: V_a = D·V_dc

Metoda

Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja R_a i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
Użyj V = E + I_a·R_a, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·I_a dla momentu, z ω = 2π·n/60.
Dla mocy i sprawności zacznij od V·I_a, odejmij straty w miedzi I_a²·R_a, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 37 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 91%, a współczynnik mocy 0,84 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 690 V. Wyznacz prąd przewodowy I_L.

P_out = 37 kWη = 91%cos φ = 0,84V_L = 690 V

I_L = A

2.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 50 kW przy współczynniku mocy 0,7 (indukcyjnym) z sieci 480 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,92 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w trójkąt. Wyznacz pojemność C_ph każdego kondensatora w µF.

P = 50 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,92V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoryŚredni

Wzmacniacz o rezystancji wyjściowej 5000 Ω zasila głośnik 50 Ω przez idealny transformator. Dla maksymalnego przekazu mocy głośnik musi być widziany od strony wzmacniacza jako 5000 Ω. Wyznacz przekładnię a = N₁/N₂.

R_s = 5000 ΩR_L = 50 Ω

a =

4.TransformatoryTrudny

Jednofazowy transformator 200 kVA ma straty w rdzeniu 1000 W. Przy obciążeniu znamionowym i współczynniku mocy 0,85 (indukcyjnym) jego sprawność wynosi 98%. Wyznacz straty w miedzi przy pełnym obciążeniu P_cu,fl w watach.

S = 200 kVAP_core = 1000 Wpf = 0,85η = 98%

P_cu,fl = W

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Silnik jednofazowy pobiera 11 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z zasilania 400 V. Wyznacz prąd linii I.

P = 11 kWpf = 0,65V = 400 V

I = A

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Odbiornik jednofazowy pobiera 21 kW przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym) z zasilania 400 V, 60 Hz. Równolegle do odbiornika podłączono kondensator 33 µF. Wyznacz nowy prąd linii I.

P = 21 kWpf₁ = 0,8V = 400 Vf = 60 HzC = 33 µF

I = A

7.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 24 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 22 µF

φ = °

8.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC ma R = 2 Ω, L = 10 mH i C = 2,2 µF. Wyznacz jego pasmo przenoszenia B (szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy) w Hz.

R = 2 ΩL = 10 mHC = 2,2 µF

B = Hz

9.Silniki prądu stałegoŚredni

Silnik prądu stałego (k = 0,8 N·m/A, R_a = 1 Ω) jest zasilany napięciem 220 V i napędza obciążenie o momencie 6,4 N·m. Wyznacz jego prędkość n w obr/min.

V = 220 Vk = 0,8 N·m/AR_a = 1 ΩT = 6,4 N·m

n = rpm

10.Silniki prądu stałegoTrudny

Silnik obcowzbudny (k = 0,4 V·s/rad przy pełnym polu, R_a = 0,4 Ω, V = 110 V) napędza obciążenie o stałym momencie 12 N·m. Strumień wzbudzenia zmniejszono do 85 % wartości pełnej. Wyznacz nową prędkość n.

V = 110 Vk = 0,4 V·s/radR_a = 0,4 ΩT = 12 N·mΦ = 85 %

n = rpm

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: I_L = 40,5 A

Elektryczna moc wejściowa

P_in = P_out/η = 37/0,91 = 40,66 kW

Prąd linii

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 40659/(√3·690·0,84) = 40,5 A

Odpowiedź

I_L = 40,5 A

2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: C_ph = 114 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,7) = 50·1,02 = 51,01 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,92) = 50·0,426 = 21,3 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 29,71 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w trójkąt każdy kondensator jest włączony między dwa przewody fazowe.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 9903/(377·480²) = 114 µF

Odpowiedź

C_ph = 114 µF

3.Transformatory

Odpowiedź: a = 10

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Dopasuj sprowadzone obciążenie

a²·50 = 5000

a = √(5000/50) = √100 = 10

Odpowiedź

a = 10

4.Transformatory

Odpowiedź: P_cu,fl = 2469 W

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·P_cu,fl. Sprawność η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), z P_out = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Moc wyjściowa i wejściowa

P_out = 200·0,85 = 170 kW

P_in = 170000/0,98 = 173469 W

Straty całkowite i straty w miedzi

P_loss = 173469 − 170000 = 3469 W

P_cu,fl = 3469 − 1000 = 2469 W

Odpowiedź

P_cu,fl = 2469 W

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I = 42,31 A

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Prąd linii

Pracę wykonuje tylko moc czynna, więc podziel przez współczynnik mocy.

I = P/(V·cos φ) = 11000/(400·0,65) = 42,31 A

Odpowiedź

I = 42,31 A

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I = 62,77 A

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q₁ = 21·tan(arccos 0,8) = 15,75 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·60·33·10⁻⁶ = 1991 var = 1,991 kvar

Q₂ = 15,75 − 1,991 = 13,76 kvar

Nowa moc pozorna

S₂ = √(21² + 13,76²) = 25,11 kVA

Nowy prąd linii

I = S₂/V = 25106/400 = 62,77 A

Odpowiedź

I = 62,77 A

7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 68,5 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (152,3)²) = 163,7 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(152,3/60) = 68,5°

Odpowiedź

φ = 68,5°

8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: B = 31,83 Hz

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = 1/(2π·√(0,01·2,2·10⁻⁶)) = 1073 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0,01/(2,2·10⁻⁶)) = 33,71

Pasmo przenoszenia

B = f₀/Q = 1073/33,71 = 31,83 Hz

Odpowiedź

B = 31,83 Hz

9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n = 2531 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja R_a połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + I_a·R_a. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·I_a, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·I_a = T·ω; moc wejściowa to V·I_a, a różnicę stanowią straty w miedzi I_a²R_a oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − R_a·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/R_a. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/R_a jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prąd twornika

I_a = T/k = 6,4/0,8 = 8 A

Siła przeciwelektromotoryczna i prędkość

E = 220 − 8·1 = 212 V

ω = E/k = 265 rad/s → n = 2531 rpm

Odpowiedź

n = 2531 rpm

10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n = 2693 rpm

Stała silnika przy osłabionym polu

k₂ = 0,85·0,4 = 0,34 V·s/rad

Nowy prąd twornika

I_a = 12/0,34 = 35,29 A

Nowa prędkość

ω = (110 − 35,29·0,4)/0,34 = 282 rad/s → n = 2693 rpm

Odpowiedź

n = 2693 rpm

Osłabianie pola pozwala napędowi prądu stałego pracować powyżej prędkości podstawowej.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems