Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Stosunek prądów: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Prąd znamionowy: I = S/V
Impedancja sprowadzona: Z₁′ = a²·Z_L
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym: P_cu = x²·P_cu,fl
Sprawność: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Sprawność maksymalna: x = √(P_core/P_cu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika: V = E + I_aR_a
Siła przeciwelektromotoryczna i moment: E = k·ω, T = k·I_a
Prędkość: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Moce: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Rozruch: I_start = V/(R_a + R_st)
Zmienność prędkości: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Maksymalna moc wytworzona: P_max = V²/(4R_a)
Napęd z przerywaczem: V_a = D·V_dc

Metoda

Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja R_a i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
Użyj V = E + I_a·R_a, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·I_a dla momentu, z ω = 2π·n/60.
Dla mocy i sprawności zacznij od V·I_a, odejmij straty w miedzi I_a²·R_a, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 22 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 95%, a współczynnik mocy 0,84 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 415 V. Wyznacz prąd przewodowy I_L.

P_out = 22 kWη = 95%cos φ = 0,84V_L = 415 V

I_L = A

2.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 120 kW przy współczynniku mocy 0,72 (indukcyjnym) z sieci 415 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,98 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w gwiazdę. Wyznacz pojemność C_ph każdego kondensatora w µF.

P = 120 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,98V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoryŚredni

Jednofazowy transformator 250 kVA, 480/240 V pracuje przy obciążeniu znamionowym. Potraktuj go jako idealny. Wyznacz prąd I_HV w uzwojeniu górnego napięcia.

S = 250 kVAV₁ = 480 VV₂ = 240 V

I_HV = A

4.TransformatoryTrudny

Jednofazowy transformator 25 kVA ma straty w rdzeniu 125 W i straty w miedzi 250 W przy obciążeniu znamionowym. Dostarcza 75% swojej znamionowej mocy kVA przy współczynniku mocy 0,9 (indukcyjnym). Wyznacz całkowite straty P_loss w watach przy tym obciążeniu.

S = 25 kVAP_core = 125 WP_cu,fl = 250 Wx = 0,75pf = 0,9

P_loss = W

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Silnik jednofazowy pobiera 10 kW przy współczynniku mocy 0,7 (indukcyjnym) z zasilania 240 V. Wyznacz prąd linii I.

P = 10 kWpf = 0,7V = 240 V

I = A

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Odbiornik jednofazowy pobiera 20 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym) z zasilania 240 V, 50 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,92. Wyznacz potrzebną pojemność C.

P = 20 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,92V = 240 Vf = 50 Hz

C = µF

7.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC z L = 5 mH ma być w rezonansie przy 500 Hz. Wyznacz potrzebną pojemność C.

f₀ = 500 HzL = 5 mH

C = µF

8.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC ma R = 15 Ω, L = 1 mH i C = 1 µF. Wyznacz jego pasmo przenoszenia B (szerokość pasma między częstotliwościami połowy mocy) w Hz.

R = 15 ΩL = 1 mHC = 1 µF

B = Hz

9.Silniki prądu stałegoŚredni

Silnik prądu stałego pobiera 10 A z zasilania 120 V. Jego rezystancja twornika wynosi 1 Ω, a straty mechaniczne (tarcie, opór powietrza i straty w żelazie) wynoszą 55 W. Wyznacz jego sprawność η.

V = 120 VI_a = 10 AR_a = 1 ΩP_rot = 55 W

η = %

10.Silniki prądu stałegoTrudny

Silnik prądu stałego o k = 0,2 V·s/rad i R_a = 0,8 Ω ma napędzać obciążenie 0,4 N·m przy 400 obr/min. Wyznacz potrzebne napięcie twornika V.

k = 0,2 V·s/radR_a = 0,8 ΩT = 0,4 N·mn = 400 rpm

V = V

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: I_L = 38,35 A

Elektryczna moc wejściowa

P_in = P_out/η = 22/0,95 = 23,16 kW

Prąd linii

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 23158/(√3·415·0,84) = 38,35 A

Odpowiedź

I_L = 38,35 A

2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: C_ph = 1687 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 120·tan(acos 0,72) = 120·0,9639 = 115,7 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0,98) = 120·0,2031 = 24,37 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 91,3 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w gwiazdę każdy kondensator jest włączony między przewód fazowy a punkt gwiazdowy.

V = 415/√3 = 239,6 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 30432/(314,2·239,6²) = 1687 µF

Odpowiedź

C_ph = 1687 µF

3.Transformatory

Odpowiedź: I_HV = 520,8 A

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Prąd znamionowy

Oba uzwojenia przenoszą tę samą moc pozorną.

I_HV = S/V = 250000/480 = 520,8 A

Odpowiedź

I_HV = 520,8 A

4.Transformatory

Odpowiedź: P_loss = 265,6 W

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·P_cu,fl. Sprawność η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), z P_out = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Straty w miedzi przy tym obciążeniu

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,5625·250 = 140,6 W

Straty całkowite

Straty w rdzeniu są takie same przy każdym obciążeniu.

P_loss = 125 + 140,6 = 265,6 W

Odpowiedź

P_loss = 265,6 W

Sprawność przy tym obciążeniu wynosi η = 98,45%.

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I = 59,52 A

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Prąd linii

Pracę wykonuje tylko moc czynna, więc podziel przez współczynnik mocy.

I = P/(V·cos φ) = 10000/(240·0,7) = 59,52 A

Odpowiedź

I = 59,52 A

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: C = 503,9 µF

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q₁ = P·tan φ₁ = 20·tan(41,41°) = 17,64 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 20·tan(23,07°) = 8,52 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 9,118 kvar

Pojemność

Kondensator dołączony do zasilania dostarcza Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 9118/(2π·50·240²) = 503,9 µF

Odpowiedź

C = 503,9 µF

7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: C = 20,26 µF

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0,005) = 20,26 µF

Odpowiedź

C = 20,26 µF

8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: B = 2387 Hz

Częstotliwość rezonansowa

f₀ = 1/(2π·√(0,001·1·10⁻⁶)) = 5033 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,001/(1·10⁻⁶)) = 2,108

Pasmo przenoszenia

B = f₀/Q = 5033/2,108 = 2387 Hz

Odpowiedź

B = 2387 Hz

9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: η = 87,08 %

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja R_a połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + I_a·R_a. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·I_a, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·I_a = T·ω; moc wejściowa to V·I_a, a różnicę stanowią straty w miedzi I_a²R_a oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − R_a·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/R_a. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/R_a jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Moce

P_in = 120·10 = 1200 W

P_dev = 110·10 = 1100 W

P_out = 1100 − 55 = 1045 W

Sprawność

η = 1045/1200·100 = 87,08 %

Odpowiedź

η = 87,08 %

10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: V = 9,978 V

Siła przeciwelektromotoryczna

E = 0,2·41,89 = 8,378 V

Prąd twornika

I_a = 0,4/0,2 = 2 A

Napięcie twornika

V = 8,378 + 2·0,8 = 9,978 V

Odpowiedź

V = 9,978 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems