Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Stosunek prądów: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Prąd znamionowy: I = S/V
Impedancja sprowadzona: Z₁′ = a²·Z_L
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym: P_cu = x²·P_cu,fl
Sprawność: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Sprawność maksymalna: x = √(P_core/P_cu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika: V = E + I_aR_a
Siła przeciwelektromotoryczna i moment: E = k·ω, T = k·I_a
Prędkość: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Moce: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Rozruch: I_start = V/(R_a + R_st)
Zmienność prędkości: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Maksymalna moc wytworzona: P_max = V²/(4R_a)
Napęd z przerywaczem: V_a = D·V_dc

Metoda

Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja R_a i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
Użyj V = E + I_a·R_a, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·I_a dla momentu, z ω = 2π·n/60.
Dla mocy i sprawności zacznij od V·I_a, odejmij straty w miedzi I_a²·R_a, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 45 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 92%, a współczynnik mocy 0,85 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 480 V. Wyznacz prąd przewodowy I_L.

P_out = 45 kWη = 92%cos φ = 0,85V_L = 480 V

I_L = A

2.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 150 kW przy współczynniku mocy 0,78 (indukcyjnym) z sieci 480 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,95 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w gwiazdę. Wyznacz pojemność C_ph każdego kondensatora w µF.

P = 150 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,95V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoryŚredni

Wzmacniacz o rezystancji wyjściowej 200 Ω zasila głośnik 2 Ω przez idealny transformator. Dla maksymalnego przekazu mocy głośnik musi być widziany od strony wzmacniacza jako 200 Ω. Wyznacz przekładnię a = N₁/N₂.

R_s = 200 ΩR_L = 2 Ω

a =

4.TransformatoryTrudny

Jednofazowy transformator 50 kVA ma straty w rdzeniu 150 W i straty w miedzi 375 W przy obciążeniu znamionowym. Dostarcza 25% swojej znamionowej mocy kVA przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym). Wyznacz całkowite straty P_loss w watach przy tym obciążeniu.

S = 50 kVAP_core = 150 WP_cu,fl = 375 Wx = 0,25pf = 0,8

P_loss = W

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Odbiornik o impedancji Z = 24 + j7 Ω jest podłączony do jednofazowego zasilania 120 V (skuteczne). Wyznacz moc pozorną S.

V = 120 VZ = 24 + j7 Ω

S = VA

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Źródło 50 V (skuteczne), 60 Hz ma impedancję wewnętrzną Z_s = 20 + j15 Ω. Impedancję obciążenia Z_L można dobrać dowolnie. Wyznacz maksymalną moc czynną P_max, jaką można dostarczyć do obciążenia.

V_s = 50 V (rms)f = 60 HzZ_s = 20 + j15 Ω

P_max = W

7.Impedancja i wskazy ACŚredni

Rezystor i kondensator są połączone równolegle i podłączone do zasilania 12 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩC = 100 µF

|Z| = Ω

8.Impedancja i wskazy ACTrudny

Rezystor R₁ jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R₂ i kondensatora C i podłączony do zasilania 50 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz wartość skuteczną prądu I.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 150 ΩC = 10 µF

I = A

9.Silniki prądu stałegoŚredni

Silnik prądu stałego o k = 0,08 V·s/rad jest zasilany napięciem 24 V. Pomijając wszystkie straty na biegu jałowym, wyznacz jego prędkość biegu jałowego n₀ w obr/min.

V = 24 Vk = 0,08 V·s/rad

n₀ = rpm

10.Silniki prądu stałegoTrudny

Silnik obcowzbudny (k = 1,2 V·s/rad przy pełnym polu, R_a = 0,4 Ω, V = 110 V) napędza obciążenie o stałym momencie 24 N·m. Strumień wzbudzenia zmniejszono do 85 % wartości pełnej. Wyznacz nową prędkość n.

V = 110 Vk = 1,2 V·s/radR_a = 0,4 ΩT = 24 N·mΦ = 85 %

n = rpm

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: I_L = 69,22 A

Elektryczna moc wejściowa

P_in = P_out/η = 45/0,92 = 48,91 kW

Prąd linii

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 48913/(√3·480·0,85) = 69,22 A

Odpowiedź

I_L = 69,22 A

2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: C_ph = 817,9 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,78) = 150·0,8023 = 120,3 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,95) = 150·0,3287 = 49,3 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 71,04 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w gwiazdę każdy kondensator jest włączony między przewód fazowy a punkt gwiazdowy.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 23680/(377·277,1²) = 817,9 µF

Odpowiedź

C_ph = 817,9 µF

3.Transformatory

Odpowiedź: a = 10

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Dopasuj sprowadzone obciążenie

a²·2 = 200

a = √(200/2) = √100 = 10

Odpowiedź

a = 10

4.Transformatory

Odpowiedź: P_loss = 173,4 W

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·P_cu,fl. Sprawność η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), z P_out = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Straty w miedzi przy tym obciążeniu

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,0625·375 = 23,44 W

Straty całkowite

Straty w rdzeniu są takie same przy każdym obciążeniu.

P_loss = 150 + 23,44 = 173,4 W

Odpowiedź

P_loss = 173,4 W

Sprawność przy tym obciążeniu wynosi η = 98,3%.

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: S = 576 VA

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Prąd

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω

I = V/|Z| = 120/25 = 4,8 A

Moc pozorna

S = V·I = 120·4,8 = 576 VA

Odpowiedź

S = 576 VA

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: P_max = 31,25 W

Dopasowanie sprzężone

Reaktancja obciążenia znosi reaktancję źródła, a rezystancja obciążenia jest równa rezystancji źródła.

Z_L = Z_s* = 20 − j15 Ω

Moc maksymalna

I = V_s/(2R_s) = 50/40 = 1,25 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 50²/(4·20) = 31,25 W

Odpowiedź

P_max = 31,25 W

7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: |Z| = 6,227 Ω

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancja

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Prądy gałęzi

Obie gałęzie są podłączone bezpośrednio do zasilania, więc na każdej jest pełne napięcie V.

I_R = V/R = 12/10 = 1,2 A

I_X = V/X_C = 12/7,958 = 1,508 A

Prąd całkowity

Prąd rezystora jest w fazie z V, a prąd bierny przesunięty o 90°, więc dodają się jak boki trójkąta prostokątnego.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,2² + 1,508²) = 1,927 A

Impedancja

|Z| = V/I = 12/1,927 = 6,227 Ω

Odpowiedź

|Z| = 6,227 Ω

8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: I = 0,5655 A

Reaktancja

X_C = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Z_p na część rzeczywistą i urojoną.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 32,94 − j62,1 Ω

Impedancja całkowita

Z = 30 + 32,94 − j62,1 = 62,94 − j62,1 Ω

|Z| = √(62,94² + 62,1²) = 88,42 Ω

Prąd

I = V/|Z| = 50/88,42 = 0,5655 A

Odpowiedź

I = 0,5655 A

9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n₀ = 2865 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja R_a połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + I_a·R_a. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·I_a, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·I_a = T·ω; moc wejściowa to V·I_a, a różnicę stanowią straty w miedzi I_a²R_a oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − R_a·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/R_a. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/R_a jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prędkość biegu jałowego

ω₀ = V/k = 24/0,08 = 300 rad/s

n₀ = 60·300/(2π) = 2865 rpm

Odpowiedź

n₀ = 2865 rpm

10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n = 941,7 rpm

Stała silnika przy osłabionym polu

k₂ = 0,85·1,2 = 1,02 V·s/rad

Nowy prąd twornika

I_a = 24/1,02 = 23,53 A

Nowa prędkość

ω = (110 − 23,53·0,4)/1,02 = 98,62 rad/s → n = 941,7 rpm

Odpowiedź

n = 941,7 rpm

Osłabianie pola pozwala napędowi prądu stałego pracować powyżej prędkości podstawowej.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems