Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Połączenie w trójkąt (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Całkowita moc czynna
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Moc pozorna i bierna
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze
Δ: VL Y: VL/√3
Moc pobierana przez silnik
Pin = Pout/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa
a = N1/N2 = V1/V2
Stosunek prądów
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Prąd znamionowy
I = S/V
Impedancja sprowadzona
Z1′ = a²·ZL
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym
Pcu = x²·Pcu,fl
Sprawność
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Sprawność maksymalna
x = √(Pcore/Pcu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna
P = V·I·cos φ
Moc bierna
Q = V·I·sin φ
Moc pozorna
S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy
pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsacja
ω = 2πf
Moduł i kąt
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów
V = I·Z

Metoda

  1. Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
  2. Wyznacz każdą reaktancję: XL = ωL i XC = 1/(ωC).
  3. Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
  4. Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika
V = E + IaRa
Siła przeciwelektromotoryczna i moment
E = k·ω, T = k·Ia
Prędkość
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Moce
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Rozruch
Istart = V/(Ra + Rst)
Zmienność prędkości
SR = (n0 − nFL)/nFL
Maksymalna moc wytworzona
Pmax = V²/(4Ra)
Napęd z przerywaczem
Va = D·Vdc

Metoda

  1. Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja Ra i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
  2. Użyj V = E + Ia·Ra, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
  3. Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·Ia dla momentu, z ω = 2π·n/60.
  4. Dla mocy i sprawności zacznij od V·Ia, odejmij straty w miedzi Ia²·Ra, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni
ABCVL​ = 480 VIL​ = 10 Acos φ = 0,82indukcyjny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera prąd przewodowy 10 A ze źródła o napięciu przewodowym 480 V. Współczynnik mocy wynosi 0,82 (indukcyjny). Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

VL = 480 VIL = 10 Acos φ = 0,82
P = kW
2.Moc w układach trójfazowychTrudny
P = 150 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 150 kW przy współczynniku mocy 0,7 (indukcyjnym) z sieci 480 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,92 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Wyznacz całkowitą moc bierną QC, którą musi dostarczyć bateria kondensatorów, w kvar.

P = 150 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3.TransformatoryŚredni
8 ΩN1​N2​200 Ω

Wzmacniacz o rezystancji wyjściowej 200 Ω zasila głośnik 8 Ω przez idealny transformator. Dla maksymalnego przekazu mocy głośnik musi być widziany od strony wzmacniacza jako 200 Ω. Wyznacz przekładnię a = N₁/N₂.

Rs = 200 ΩRL = 8 Ω
a =
4.TransformatoryTrudny
pf 0,8150 kVA, 25% obciążenie

Jednofazowy transformator 150 kVA ma straty w rdzeniu 600 W i straty w miedzi 900 W przy obciążeniu znamionowym. Dostarcza 25% swojej znamionowej mocy kVA przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym). Wyznacz całkowite straty Ploss w watach przy tym obciążeniu.

S = 150 kVAPcore = 600 WPcu,fl = 900 Wx = 0,25pf = 0,8
Ploss = W
5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni
P = 33 kWQ = ?Sφ

Silnik jednofazowy pobiera 33 kW przy współczynniku mocy 0,7 (indukcyjnym) z zasilania 230 V. Wyznacz moc bierną Q, którą pobiera.

P = 33 kWpf = 0,7V = 230 V
Q = kvar
6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny
P1​ = 59 kWQ1​S1​φ

Transformator jednofazowy 150 kVA zasila odbiornik 59 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym). Ile dodatkowej mocy czynnej ΔP można dołączyć jako odbiornik rezystancyjny (współczynnik mocy równy 1), zanim transformator osiągnie swoją moc znamionową w kVA?

Smax = 150 kVAP1 = 59 kWpf1 = 0,75
ΔP = kW
7.Impedancja i wskazy ACŚredni
100 V200 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 2,2 µFI

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 200 Hz. Wyznacz współczynnik mocy cos φ obwodu.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF
cos φ =
8.Impedancja i wskazy ACTrudny
VfR = 50 ΩL = 50 mHC = 1 µF

Szeregowy obwód RLC ma R = 50 Ω, L = 50 mH i C = 1 µF. Wyznacz jego dobroć Q w rezonansie.

R = 50 ΩL = 50 mHC = 1 µF
Q =
9.Silniki prądu stałegoŚredni
T (N·m)n (rpm)Tst​ = ?n0​

Silnik prądu stałego o k = 0,8 N·m/A i Ra = 2 Ω jest dołączony do napięcia 240 V. Wyznacz jego moment utyku Tstall, czyli moment przy zerowej prędkości.

V = 240 Vk = 0,8 N·m/ARa = 2 Ω
Tstall = N·m
10.Silniki prądu stałegoTrudny
+−120 VRa​ = 2 ΩM+−En = ?T = 3,2 N·m

Silnik obcowzbudny (k = 0,8 V·s/rad przy pełnym polu, Ra = 2 Ω, V = 120 V) napędza obciążenie o stałym momencie 3,2 N·m. Strumień wzbudzenia zmniejszono do 80 % wartości pełnej. Wyznacz nową prędkość n.

V = 120 Vk = 0,8 V·s/radRa = 2 ΩT = 3,2 N·mΦ = 80 %
n = rpm

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 6,817 kW

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Moc pozorna

S = √3·VL·IL = √3·480·10 = 8,314 kVA

Moc czynna

P = S·cos φ = 8,314·0,82 = 6,817 kW

Odpowiedź

P = 6,817 kW
2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: QC = 89,13 kvar

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, VL = √3·Vph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, IL = √3·Iph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza QC/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: VL w baterii połączonej w trójkąt, VL/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q1 = 150·tan(acos 0,7) = 150·1,02 = 153 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0,92) = 150·0,426 = 63,9 kvar

Moc bierna z kondensatorów

QC = Q1 − Q2 = 89,13 kvar

Odpowiedź

QC = 89,13 kvar
3.Transformatory

Odpowiedź: a = 5

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Dopasuj sprowadzone obciążenie

a²·8 = 200
a = √(200/8) = √25 = 5

Odpowiedź

a = 5
4.Transformatory

Odpowiedź: Ploss = 656,3 W

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·Pcu,fl. Sprawność η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), z Pout = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Straty w miedzi przy tym obciążeniu

Pcu = x²·Pcu,fl = 0,0625·900 = 56,25 W

Straty całkowite

Straty w rdzeniu są takie same przy każdym obciążeniu.

Ploss = 600 + 56,25 = 656,3 W

Odpowiedź

Ploss = 656,3 W

Sprawność przy tym obciążeniu wynosi η = 97,86%.

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: Q = 33,67 kvar

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Kąt

φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02

Moc bierna

Q = P·tan φ = 33·1,02 = 33,67 kvar

Odpowiedź

Q = 33,67 kvar
6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: ΔP = 81,69 kW

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna istniejącego odbiornika

Q1 = 59·tan(arccos 0,75) = 52,03 kvar

Największa łączna moc czynna

Przy pełnym obciążeniu znamionowym S = Smax, a odbiornik rezystancyjny nie zmienia Q.

P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 52,03²) = 140,7 kW

Dodatkowa moc czynna

ΔP = 140,7 − 59 = 81,69 kW

Odpowiedź

ΔP = 81,69 kW
7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: cos φ = 0,1326

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

XL = 62,83 Ω, XC = 361,7 Ω

Impedancja

|Z| = √(40² + (−298,9)²) = 301,5 Ω

Współczynnik mocy

cos φ = R/|Z| = 40/301,5 = 0,1326
Obwód jest pojemnościowy, więc współczynnik mocy ma charakter pojemnościowy.

Odpowiedź

cos φ = 0,1326
8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: Q = 4,472

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Częstotliwość rezonansowa

f0 = 1/(2π·√(0,05·1·10⁻⁶)) = 711,8 Hz

Dobroć

Q porównuje reaktancję w rezonansie z rezystancją: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,05/(1·10⁻⁶)) = 4,472

Odpowiedź

Q = 4,472
9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: Tstall = 96 N·m

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prąd utyku

Ia = V/Ra = 240/2 = 120 A

Moment utyku

Tstall = 0,8·120 = 96 N·m

Odpowiedź

Tstall = 96 N·m
10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n = 1641 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja Ra połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + Ia·Ra. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·Ia, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·Ia = T·ω; moc wejściowa to V·Ia, a różnicę stanowią straty w miedzi Ia²Ra oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − Ra·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/Ra. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/Ra jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Stała silnika przy osłabionym polu

k₂ = 0,8·0,8 = 0,64 V·s/rad

Nowy prąd twornika

Ia = 3,2/0,64 = 5 A

Nowa prędkość

ω = (120 − 5·2)/0,64 = 171,9 rad/s → n = 1641 rpm

Odpowiedź

n = 1641 rpm

Osłabianie pola pozwala napędowi prądu stałego pracować powyżej prędkości podstawowej.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems