Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Stosunek prądów: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Prąd znamionowy: I = S/V
Impedancja sprowadzona: Z₁′ = a²·Z_L
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym: P_cu = x²·P_cu,fl
Sprawność: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Sprawność maksymalna: x = √(P_core/P_cu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika: V = E + I_aR_a
Siła przeciwelektromotoryczna i moment: E = k·ω, T = k·I_a
Prędkość: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Moce: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Rozruch: I_start = V/(R_a + R_st)
Zmienność prędkości: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Maksymalna moc wytworzona: P_max = V²/(4R_a)
Napęd z przerywaczem: V_a = D·V_dc

Metoda

Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja R_a i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
Użyj V = E + I_a·R_a, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·I_a dla momentu, z ω = 2π·n/60.
Dla mocy i sprawności zacznij od V·I_a, odejmij straty w miedzi I_a²·R_a, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 45 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 95%, a współczynnik mocy 0,88 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 480 V. Wyznacz prąd przewodowy I_L.

P_out = 45 kWη = 95%cos φ = 0,88V_L = 480 V

I_L = A

2.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 300 kW przy współczynniku mocy 0,72 (indukcyjnym) z sieci 400 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,95 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w gwiazdę. Wyznacz pojemność C_ph każdego kondensatora w µF.

P = 300 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,95V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoryŚredni

Do uzwojenia pierwotnego idealnego transformatora o przekładni N₁:N₂ = 2:1 przyłożono napięcie 460 V. Do uzwojenia wtórnego dołączono rezystor 4 Ω. Wyznacz prąd pierwotny I₁.

N₁:N₂ = 2:1V₁ = 460 VR_L = 4 Ω

I₁ = A

4.TransformatoryTrudny

Jednofazowy transformator 500 kVA ma straty w rdzeniu 4000 W i straty w miedzi 6000 W przy obciążeniu znamionowym. Przy jakim obciążeniu S_η,max, w kVA, jego sprawność jest najwyższa?

S = 500 kVAP_core = 4000 WP_cu,fl = 6000 W

S_η,max = kVA

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Odbiornik indukcyjny pobiera 2 A i 230 W z jednofazowego zasilania 230 V (skuteczne). Zamodeluj go jako rezystancję R połączoną szeregowo z reaktancją X. Wyznacz X.

V = 230 VI = 2 AP = 230 W

X = Ω

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Odbiornik jednofazowy pobiera 28 kW przy współczynniku mocy 0,6 (indukcyjnym) z zasilania 240 V, 60 Hz. Równolegle do odbiornika podłączono kondensator 470 µF. Wyznacz nowy współczynnik mocy cos φ widziany przez zasilanie.

P = 28 kWpf₁ = 0,6V = 240 Vf = 60 HzC = 470 µF

cos φ =

7.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 60 Hz. Wyznacz współczynnik mocy cos φ obwodu.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 22 µF

cos φ =

8.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 100 V (skuteczne), 50 Hz. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_C na kondensatorze.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 47 µF

V_C = V

9.Silniki prądu stałegoŚredni

Silnik prądu stałego o k = 0,5 N·m/A i R_a = 2 Ω jest dołączony do napięcia 48 V. Wyznacz jego moment utyku T_stall, czyli moment przy zerowej prędkości.

V = 48 Vk = 0,5 N·m/AR_a = 2 Ω

T_stall = N·m

10.Silniki prądu stałegoTrudny

Silnik obcowzbudny na 110 V (R_a = 0,5 Ω) pracuje z prędkością 1000 obr/min przy prądzie twornika 30 A. Obciążenie się zmienia i prąd wynosi 7,5 A, przy niezmienionym polu. Wyznacz nową prędkość n₂.

V = 110 VR_a = 0,5 Ωn₁ = 1000 rpmI_a1 = 30 AI_a2 = 7,5 A

n₂ = rpm

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: I_L = 64,74 A

Elektryczna moc wejściowa

P_in = P_out/η = 45/0,95 = 47,37 kW

Prąd linii

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 47368/(√3·480·0,88) = 64,74 A

Odpowiedź

I_L = 64,74 A

2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: C_ph = 3159 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,72) = 300·0,9639 = 289,2 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,95) = 300·0,3287 = 98,61 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 190,6 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w gwiazdę każdy kondensator jest włączony między przewód fazowy a punkt gwiazdowy.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 63517/(377·230,9²) = 3159 µF

Odpowiedź

C_ph = 3159 µF

3.Transformatory

Odpowiedź: I₁ = 28,75 A

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Napięcie i prąd wtórny

V₂ = 460/2 = 230 V

I₂ = 230/4 = 57,5 A

Prąd pierwotny

Idealny transformator nie ma strat: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/2 = 28,75 A

Odpowiedź

I₁ = 28,75 A

Sprawdzenie: obciążenie widziane od strony pierwotnej to a²·R_L = 16 Ω, a 460/16 daje ten sam prąd.

4.Transformatory

Odpowiedź: S_η,max = 408,2 kVA

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·P_cu,fl. Sprawność η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), z P_out = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Straty w miedzi równe stratom w rdzeniu

x²·6000 = 4000 → x = √(4000/6000) = 0,8165

Obciążenie przy maksymalnej sprawności

S_η,max = x·S = 0,8165·500 = 408,2 kVA

Odpowiedź

S_η,max = 408,2 kVA

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: X = 99,59 Ω

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Rezystancja z mocy czynnej

R = P/I² = 230/2² = 57,5 Ω

Reaktancja z impedancji

|Z| = V/I = 230/2 = 115 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(115² − 57,5²) = 99,59 Ω

Odpowiedź

X = 99,59 Ω

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: cos φ = 0,7182

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q₁ = 28·tan(arccos 0,6) = 37,33 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·60·470·10⁻⁶ = 10206 var = 10,21 kvar

Q₂ = 37,33 − 10,21 = 27,13 kvar

Nowa moc pozorna

S₂ = √(28² + 27,13²) = 38,99 kVA

Nowy współczynnik mocy

cos φ = P/S₂ = 28/38,99 = 0,7182

Odpowiedź

cos φ = 0,7182

7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: cos φ = 0,1929

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

X_L = 18,85 Ω, X_C = 120,6 Ω

Impedancja

|Z| = √(20² + (−101,7)²) = 103,7 Ω

Współczynnik mocy

cos φ = R/|Z| = 20/103,7 = 0,1929

Obwód jest pojemnościowy, więc współczynnik mocy ma charakter pojemnościowy.

Odpowiedź

cos φ = 0,1929

8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_C = 186,1 V

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,15 = 47,12 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−20,6)²) = 36,39 Ω

Prąd

Przez każdy element obwodu szeregowego płynie ten sam prąd.

I = V/|Z| = 100/36,39 = 2,748 A

Napięcie na kondensatorze

V_C = I·X_C = 2,748·67,73 = 186,1 V

Odpowiedź

V_C = 186,1 V

9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: T_stall = 12 N·m

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja R_a połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + I_a·R_a. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·I_a, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·I_a = T·ω; moc wejściowa to V·I_a, a różnicę stanowią straty w miedzi I_a²R_a oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − R_a·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/R_a. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/R_a jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prąd utyku

I_a = V/R_a = 48/2 = 24 A

Moment utyku

T_stall = 0,5·24 = 12 N·m

Odpowiedź

T_stall = 12 N·m

10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n₂ = 1118 rpm

Siła przeciwelektromotoryczna przed zmianą i po niej

E₁ = 110 − 30·0,5 = 95 V

E₂ = 110 − 7,5·0,5 = 106,3 V

Nowa prędkość

n₂ = 1000·106,3/95 = 1118 rpm

Odpowiedź

n₂ = 1118 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems