Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Stosunek prądów: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Prąd znamionowy: I = S/V
Impedancja sprowadzona: Z₁′ = a²·Z_L
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym: P_cu = x²·P_cu,fl
Sprawność: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Sprawność maksymalna: x = √(P_core/P_cu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika: V = E + I_aR_a
Siła przeciwelektromotoryczna i moment: E = k·ω, T = k·I_a
Prędkość: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Moce: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Rozruch: I_start = V/(R_a + R_st)
Zmienność prędkości: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Maksymalna moc wytworzona: P_max = V²/(4R_a)
Napęd z przerywaczem: V_a = D·V_dc

Metoda

Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja R_a i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
Użyj V = E + I_a·R_a, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·I_a dla momentu, z ω = 2π·n/60.
Dla mocy i sprawności zacznij od V·I_a, odejmij straty w miedzi I_a²·R_a, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 18,5 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 92%, a współczynnik mocy 0,86 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 400 V. Wyznacz prąd przewodowy I_L.

P_out = 18,5 kWη = 92%cos φ = 0,86V_L = 400 V

I_L = A

2.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 200 kW przy współczynniku mocy 0,7 (indukcyjnym) z sieci 480 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,98 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w trójkąt. Wyznacz pojemność C_ph każdego kondensatora w µF.

P = 200 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,98V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoryŚredni

Wzmacniacz o rezystancji wyjściowej 500 Ω zasila głośnik 5 Ω przez idealny transformator. Dla maksymalnego przekazu mocy głośnik musi być widziany od strony wzmacniacza jako 500 Ω. Wyznacz przekładnię a = N₁/N₂.

R_s = 500 ΩR_L = 5 Ω

a =

4.TransformatoryTrudny

Jednofazowy transformator 500 kVA ma straty w rdzeniu 2500 W. Przy obciążeniu znamionowym i współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym) jego sprawność wynosi 96,5%. Wyznacz straty w miedzi przy pełnym obciążeniu P_cu,fl w watach.

S = 500 kVAP_core = 2500 Wpf = 0,8η = 96,5%

P_cu,fl = W

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Silnik jednofazowy pobiera 18 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z zasilania 230 V. Wyznacz moc bierną Q, którą pobiera.

P = 18 kWpf = 0,65V = 230 V

Q = kvar

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Źródło 100 V (skuteczne), 50 Hz ma impedancję wewnętrzną Z_s = 50 + j3 Ω. Impedancję obciążenia Z_L można dobrać dowolnie. Wyznacz maksymalną moc czynną P_max, jaką można dostarczyć do obciążenia.

V_s = 100 V (rms)f = 50 HzZ_s = 50 + j3 Ω

P_max = W

7.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 10 V (skuteczne), 1000 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

φ = °

8.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest zasilany ze źródła 2 V (skuteczne), którego częstotliwość ustawiono na częstotliwość rezonansową obwodu. Wyznacz wartość skuteczną napięcia V_L na cewce.

V = 2 V (rms)R = 15 ΩL = 200 mHC = 1 µF

V_L = V

9.Silniki prądu stałegoŚredni

Silnik prądu stałego (k = 0,75 V·s/rad, R_a = 1,2 Ω) jest zasilany napięciem 110 V. Przy pełnym obciążeniu pobiera 8 A. Pomijając prąd biegu jałowego, wyznacz jego zmienność prędkości SR = (n₀ − n_FL)/n_FL w procentach.

V = 110 Vk = 0,75 V·s/radR_a = 1,2 ΩI_FL = 8 A

SR = %

10.Silniki prądu stałegoTrudny

Silnik prądu stałego (k = 2 V·s/rad, R_a = 0,5 Ω) zasilany stałym napięciem 220 V napędza obciążenie 80 N·m. Wyznacz rezystancję szeregową R_s, która zwalnia go do 600 obr/min.

V = 220 Vk = 2 V·s/radR_a = 0,5 ΩT = 80 N·mn = 600 rpm

R_s = Ω

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: I_L = 33,75 A

Elektryczna moc wejściowa

P_in = P_out/η = 18,5/0,92 = 20,11 kW

Prąd linii

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 20109/(√3·400·0,86) = 33,75 A

Odpowiedź

I_L = 33,75 A

2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: C_ph = 627,2 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,7) = 200·1,02 = 204 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,98) = 200·0,2031 = 40,61 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 163,4 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w trójkąt każdy kondensator jest włączony między dwa przewody fazowe.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 54476/(377·480²) = 627,2 µF

Odpowiedź

C_ph = 627,2 µF

3.Transformatory

Odpowiedź: a = 10

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Dopasuj sprowadzone obciążenie

a²·5 = 500

a = √(500/5) = √100 = 10

Odpowiedź

a = 10

4.Transformatory

Odpowiedź: P_cu,fl = 12008 W

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·P_cu,fl. Sprawność η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), z P_out = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Moc wyjściowa i wejściowa

P_out = 500·0,8 = 400 kW

P_in = 400000/0,965 = 414508 W

Straty całkowite i straty w miedzi

P_loss = 414508 − 400000 = 14508 W

P_cu,fl = 14508 − 2500 = 12008 W

Odpowiedź

P_cu,fl = 12008 W

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: Q = 21,04 kvar

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Kąt

φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169

Moc bierna

Q = P·tan φ = 18·1,169 = 21,04 kvar

Odpowiedź

Q = 21,04 kvar

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: P_max = 50 W

Dopasowanie sprzężone

Reaktancja obciążenia znosi reaktancję źródła, a rezystancja obciążenia jest równa rezystancji źródła.

Z_L = Z_s* = 50 − j3 Ω

Moc maksymalna

I = V_s/(2R_s) = 100/100 = 1 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 100²/(4·50) = 50 W

Odpowiedź

P_max = 50 W

7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = 56,83 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·4,7·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (91,8)²) = 109,7 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(91,8/60) = 56,83°

Odpowiedź

φ = 56,83°

8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: V_L = 59,63 V

Rezonans

W rezonansie reaktancje się znoszą, więc impedancja jest równa samemu R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·1·10⁻⁶) = 2236 rad/s

I = V/R = 2/15 = 0,1333 A

Napięcie na cewce

X_L = ω₀L = 2236·0,2 = 447,2 Ω

V_L = I·X_L = 0,1333·447,2 = 59,63 V

Odpowiedź

V_L = 59,63 V

To Q = 29,81 razy napięcie zasilania.

9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: SR = 9,562 %

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja R_a połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + I_a·R_a. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·I_a, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·I_a = T·ω; moc wejściowa to V·I_a, a różnicę stanowią straty w miedzi I_a²R_a oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − R_a·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/R_a. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/R_a jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prędkość na biegu jałowym i przy pełnym obciążeniu

n₀ = 60·110/(2π·0,75) = 1401 rpm

n_FL = 60·(110 − 8·1,2)/(2π·0,75) = 1278 rpm

Zmienność prędkości

SR = (1401 − 1278)/1278·100 = 9,562 %

Odpowiedź

SR = 9,562 %

10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: R_s = 1,858 Ω

Prąd i siła przeciwelektromotoryczna

I_a = 80/2 = 40 A

E = 2·62,83 = 125,7 V

Rezystancja szeregowa

R_a + R_s = (220 − 125,7)/40 = 2,358 Ω

R_s = 1,858 Ω

Odpowiedź

R_s = 1,858 Ω

Rezystor wydziela 2973 W strat; przerywacz reguluje prędkość ze znacznie mniejszymi stratami.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems