Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Stosunek prądów: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Prąd znamionowy: I = S/V
Impedancja sprowadzona: Z₁′ = a²·Z_L
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym: P_cu = x²·P_cu,fl
Sprawność: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Sprawność maksymalna: x = √(P_core/P_cu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika: V = E + I_aR_a
Siła przeciwelektromotoryczna i moment: E = k·ω, T = k·I_a
Prędkość: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Moce: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Rozruch: I_start = V/(R_a + R_st)
Zmienność prędkości: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Maksymalna moc wytworzona: P_max = V²/(4R_a)
Napęd z przerywaczem: V_a = D·V_dc

Metoda

Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja R_a i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
Użyj V = E + I_a·R_a, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·I_a dla momentu, z ω = 2π·n/60.
Dla mocy i sprawności zacznij od V·I_a, odejmij straty w miedzi I_a²·R_a, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni

Trójfazowy silnik indukcyjny oddaje przy pełnym obciążeniu 37 kW mocy mechanicznej. Przy tym obciążeniu jego sprawność wynosi 88%, a współczynnik mocy 0,88 (indukcyjny). Napięcie przewodowe sieci wynosi 415 V. Wyznacz prąd przewodowy I_L.

P_out = 37 kWη = 88%cos φ = 0,88V_L = 415 V

I_L = A

2.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 200 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z sieci 690 V (napięcie przewodowe), 50 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,92 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w gwiazdę. Wyznacz pojemność C_ph każdego kondensatora w µF.

P = 200 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,92V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoryŚredni

Jednofazowy transformator 15 kVA, 4800/240 V pracuje przy obciążeniu znamionowym. Potraktuj go jako idealny. Wyznacz prąd I_HV w uzwojeniu górnego napięcia.

S = 15 kVAV₁ = 4800 VV₂ = 240 V

I_HV = A

4.TransformatoryTrudny

Jednofazowy transformator 150 kVA ma straty w rdzeniu 1200 W i straty w miedzi 2400 W przy obciążeniu znamionowym. Przy jakim obciążeniu S_η,max, w kVA, jego sprawność jest najwyższa?

S = 150 kVAP_core = 1200 WP_cu,fl = 2400 W

S_η,max = kVA

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Do jednofazowego zasilania 400 V podłączono równolegle dwa odbiorniki: odbiornik 4 kW przy współczynniku mocy 0,75 (indukcyjnym) oraz grzejnik 24 kW (współczynnik mocy równy 1). Wyznacz prąd całkowity I pobierany z zasilania.

V = 400 VP₁ = 4 kW, pf₁ = 0,75 indukcyjnyP₂ = 24 kW, pf₂ = 1

I = A

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Transformator jednofazowy 75 kVA zasila odbiornik 28 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym). Ile dodatkowej mocy czynnej ΔP można dołączyć jako odbiornik rezystancyjny (współczynnik mocy równy 1), zanim transformator osiągnie swoją moc znamionową w kVA?

S_max = 75 kVAP₁ = 28 kWpf₁ = 0,65

ΔP = kW

7.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 10 V (skuteczne), 500 Hz. Wyznacz kąt fazowy φ impedancji w stopniach (dodatni, gdy prąd opóźnia się względem napięcia).

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

φ = °

8.Impedancja i wskazy ACTrudny

Rezystor R₁ jest połączony szeregowo z równoległym połączeniem R₂ i kondensatora C i podłączony do zasilania 50 V (skuteczne), 100 Hz. Wyznacz moduł impedancji |Z|.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR₁ = 10 ΩR₂ = 100 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

9.Silniki prądu stałegoŚredni

Silnik prądu stałego pobiera 50 A z zasilania 220 V. Jego rezystancja twornika wynosi 0,4 Ω, a straty mechaniczne (tarcie, opór powietrza i straty w żelazie) wynoszą 400 W. Wyznacz jego sprawność η.

V = 220 VI_a = 50 AR_a = 0,4 ΩP_rot = 400 W

η = %

10.Silniki prądu stałegoTrudny

Silnik obcowzbudny na 110 V (R_a = 0,5 Ω) pracuje z prędkością 900 obr/min przy prądzie twornika 25 A. Obciążenie się zmienia i prąd wynosi 12,5 A, przy niezmienionym polu. Wyznacz nową prędkość n₂.

V = 110 VR_a = 0,5 Ωn₁ = 900 rpmI_a1 = 25 AI_a2 = 12,5 A

n₂ = rpm

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: I_L = 66,47 A

Elektryczna moc wejściowa

P_in = P_out/η = 37/0,88 = 42,05 kW

Prąd linii

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 42045/(√3·415·0,88) = 66,47 A

Odpowiedź

I_L = 66,47 A

2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: C_ph = 993,7 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,65) = 200·1,169 = 233,8 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,92) = 200·0,426 = 85,2 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 148,6 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w gwiazdę każdy kondensator jest włączony między przewód fazowy a punkt gwiazdowy.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 49542/(314,2·398,4²) = 993,7 µF

Odpowiedź

C_ph = 993,7 µF

3.Transformatory

Odpowiedź: I_HV = 3,125 A

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Prąd znamionowy

Oba uzwojenia przenoszą tę samą moc pozorną.

I_HV = S/V = 15000/4800 = 3,125 A

Odpowiedź

I_HV = 3,125 A

4.Transformatory

Odpowiedź: S_η,max = 106,1 kVA

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·P_cu,fl. Sprawność η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), z P_out = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Straty w miedzi równe stratom w rdzeniu

x²·2400 = 1200 → x = √(1200/2400) = 0,7071

Obciążenie przy maksymalnej sprawności

S_η,max = x·S = 0,7071·150 = 106,1 kVA

Odpowiedź

S_η,max = 106,1 kVA

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I = 70,55 A

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Moc bierna każdego odbiornika

Odbiornik indukcyjny pobiera moc bierną (Q > 0); odbiornik pojemnościowy ją oddaje (Q < 0).

Q₁ = 4·tan(arccos 0,75) = 3,528 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Sumy

P = 4 + 24 = 28 kW

Q = 3,528 + 0 = 3,528 kvar

S = √(28² + 3,528²) = 28,22 kVA

Prąd całkowity

I = S/V = 28221/400 = 70,55 A

Odpowiedź

I = 70,55 A

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: ΔP = 39,48 kW

Moc bierna istniejącego odbiornika

Q₁ = 28·tan(arccos 0,65) = 32,74 kvar

Największa łączna moc czynna

Przy pełnym obciążeniu znamionowym S = S_max, a odbiornik rezystancyjny nie zmienia Q.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(75² − 32,74²) = 67,48 kW

Dodatkowa moc czynna

ΔP = 67,48 − 28 = 39,48 kW

Odpowiedź

ΔP = 39,48 kW

7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: φ = −4,663 °

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Reaktancje

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Impedancja

Szeregowo impedancje dodaje się jak liczby zespolone: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−4,894)²) = 60,2 Ω

Kąt fazowy

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−4,894/60) = −4,663°

Odpowiedź

φ = −4,663°

8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: |Z| = 64,98 Ω

Reaktancja

X_C = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Połączenie równoległe

Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, aby rozdzielić Z_p na część rzeczywistą i urojoną.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 34,36 − j47,49 Ω

Impedancja całkowita

Z = 10 + 34,36 − j47,49 = 44,36 − j47,49 Ω

|Z| = √(44,36² + 47,49²) = 64,98 Ω

Odpowiedź

|Z| = 64,98 Ω

9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: η = 87,27 %

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja R_a połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + I_a·R_a. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·I_a, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·I_a = T·ω; moc wejściowa to V·I_a, a różnicę stanowią straty w miedzi I_a²R_a oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − R_a·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/R_a. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/R_a jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Moce

P_in = 220·50 = 11000 W

P_dev = 200·50 = 10000 W

P_out = 10000 − 400 = 9600 W

Sprawność

η = 9600/11000·100 = 87,27 %

Odpowiedź

η = 87,27 %

10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n₂ = 957,7 rpm

Siła przeciwelektromotoryczna przed zmianą i po niej

E₁ = 110 − 25·0,5 = 97,5 V

E₂ = 110 − 12,5·0,5 = 103,8 V

Nowa prędkość

n₂ = 900·103,8/97,5 = 957,7 rpm

Odpowiedź

n₂ = 957,7 rpm

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems