Systemy elektroenergetyczne i maszyny elektryczne: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 10 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Moc w układach trójfazowych

Połączenie w gwiazdę (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Połączenie w trójkąt (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Całkowita moc czynna: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Moc pozorna i bierna: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kondensatory do kompensacji: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Napięcie na każdym kondensatorze: Δ: V_L Y: V_L/√3
Moc pobierana przez silnik: P_in = P_out/η

Transformatory

Przekładnia zwojowa: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
Stosunek prądów: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
Prąd znamionowy: I = S/V
Impedancja sprowadzona: Z₁′ = a²·Z_L
Straty w miedzi przy obciążeniu częściowym: P_cu = x²·P_cu,fl
Sprawność: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
Sprawność maksymalna: x = √(P_core/P_cu,fl)

Moc AC i współczynnik mocy

Moc czynna: P = V·I·cos φ
Moc bierna: Q = V·I·sin φ
Moc pozorna: S = V·I = √(P² + Q²)
Współczynnik mocy: pf = cos φ = P/S
Kondensator kompensacyjny: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

Impedancja i wskazy AC

Impedancje: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsacja: ω = 2πf
Moduł i kąt: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Prawo Ohma dla wskazów: V = I·Z

Metoda

Przelicz częstotliwość: ω = 2πf.
Wyznacz każdą reaktancję: X_L = ωL i X_C = 1/(ωC).
Dodawaj impedancje jak rezystory, z Z = R + jX.
Wyznacz moduł |Z| = √(R² + X²) i kąt φ = atan(X/R), a potem zastosuj prawo Ohma dla wskazów.

Silniki prądu stałego

Obwód twornika: V = E + I_aR_a
Siła przeciwelektromotoryczna i moment: E = k·ω, T = k·I_a
Prędkość: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Prędkość biegu jałowego i moment utyku: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Moce: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Rozruch: I_start = V/(R_a + R_st)
Zmienność prędkości: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Maksymalna moc wytworzona: P_max = V²/(4R_a)
Napęd z przerywaczem: V_a = D·V_dc

Metoda

Narysuj obwód twornika: napięcie zasilania V, rezystancja R_a i siła przeciwelektromotoryczna E połączone szeregowo.
Użyj V = E + I_a·R_a, aby powiązać napięcie, prąd i siłę przeciwelektromotoryczną.
Użyj E = k·ω dla prędkości i T = k·I_a dla momentu, z ω = 2π·n/60.
Dla mocy i sprawności zacznij od V·I_a, odejmij straty w miedzi I_a²·R_a, a potem straty mechaniczne.

2Zadania do ćwiczenia

1.Moc w układach trójfazowychŚredni

Symetryczny odbiornik połączony w trójkąt o impedancji 24 + j18 Ω na fazę jest przyłączony do symetrycznej sieci trójfazowej o napięciu przewodowym 400 V. Wyznacz całkowitą moc czynną P pobieraną przez odbiornik w kW.

V_L = 400 VZ = 24 + j18 Ω na fazę

P = kW

2.Moc w układach trójfazowychTrudny

Symetryczny odbiornik trójfazowy pobiera 120 kW przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym) z sieci 690 V (napięcie przewodowe), 60 Hz. Trójfazowa bateria kondensatorów połączona równolegle z odbiornikiem ma podnieść wypadkowy współczynnik mocy do 0,98 (indukcyjnego). Moc czynna się nie zmienia. Kondensatory są połączone w gwiazdę. Wyznacz pojemność C_ph każdego kondensatora w µF.

P = 120 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,98V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

3.TransformatoryŚredni

Jednofazowy transformator 100 kVA, 10000/400 V pracuje przy obciążeniu znamionowym. Potraktuj go jako idealny. Wyznacz prąd I_HV w uzwojeniu górnego napięcia.

S = 100 kVAV₁ = 10000 VV₂ = 400 V

I_HV = A

4.TransformatoryTrudny

Jednofazowy transformator 75 kVA ma straty w rdzeniu 450 W i straty w miedzi 900 W przy obciążeniu znamionowym. Dostarcza 75% swojej znamionowej mocy kVA przy współczynniku mocy 0,8 (indukcyjnym). Wyznacz całkowite straty P_loss w watach przy tym obciążeniu.

S = 75 kVAP_core = 450 WP_cu,fl = 900 Wx = 0,75pf = 0,8

P_loss = W

5.Moc AC i współczynnik mocyŚredni

Silnik jednofazowy pobiera 5 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z zasilania 400 V. Wyznacz moc bierną Q, którą pobiera.

P = 5 kWpf = 0,65V = 400 V

Q = kvar

6.Moc AC i współczynnik mocyTrudny

Odbiornik jednofazowy pobiera 15 kW przy współczynniku mocy 0,65 (indukcyjnym) z zasilania 240 V, 60 Hz. Kondensator dołączony równolegle podnosi współczynnik mocy do 0,9. Wyznacz nowy prąd linii I_new.

P = 15 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,9V = 240 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.Impedancja i wskazy ACŚredni

Szeregowy obwód RLC z L = 200 mH ma być w rezonansie przy 100 Hz. Wyznacz potrzebną pojemność C.

f₀ = 100 HzL = 200 mH

C = µF

8.Impedancja i wskazy ACTrudny

Szeregowy obwód RLC jest podłączony do zasilania 12 V (skuteczne), 1000 Hz. Wyznacz częstotliwość rezonansową f₀ obwodu.

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

9.Silniki prądu stałegoŚredni

Silnik prądu stałego (k = 1 N·m/A, R_a = 2 Ω) jest zasilany napięciem 120 V i napędza obciążenie o momencie 5 N·m. Wyznacz jego prędkość n w obr/min.

V = 120 Vk = 1 N·m/AR_a = 2 ΩT = 5 N·m

n = rpm

10.Silniki prądu stałegoTrudny

Mały silnik prądu stałego ma rezystancję twornika 1,5 Ω i jest zasilany napięciem 120 V. Pomijając straty mechaniczne, wyznacz największą moc mechaniczną P_max, jaką może rozwinąć przy dowolnej prędkości.

V = 120 VR_a = 1,5 Ω

P_max = W

3Roztwory

1.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: P = 12,8 kW

Napięcie fazowe

V_ph = V_L = 400 V

Prąd fazowy

|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω

I_ph = 400/30 = 13,33 A

Całkowita moc czynna

Moc czynną pobiera tylko rezystancyjna część każdej impedancji.

P = 3·I_ph²·R = 3·13,33²·24 = 12,8 kW

Odpowiedź

P = 12,8 kW

Sprawdzenie: cos φ = R/|Z| = 0,8, a √3·V_L·I_L·cos φ daje tę samą moc.

2.Moc w układach trójfazowych

Odpowiedź: C_ph = 365,7 µF

Symetryczne układy trójfazowe: w połączeniu w gwiazdę (Y) napięcie przewodowe jest √3 razy większe od napięcia fazowego, V_L = √3·V_ph, a prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu. W połączeniu w trójkąt (Δ) napięcie przewodowe jest równe napięciu fazowemu, a prąd przewodowy jest √3 razy większy od prądu fazowego, I_L = √3·I_ph. Moc całkowita jest trzykrotnością mocy jednej fazy: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Kompensacja mocy biernej: kondensatory dostarczają moc bierną lokalnie, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Każdy z trzech kondensatorów dostarcza Q_C/3 = V²·ω·C, gdzie V to napięcie na tym kondensatorze: V_L w baterii połączonej w trójkąt, V_L/√3 w baterii połączonej w gwiazdę.

Moc bierna przed i po

Moc czynna się nie zmienia, więc każdy współczynnik mocy wyznacza moc bierną: Q = P·tan φ.

Q₁ = 120·tan(acos 0,8) = 120·0,75 = 90 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0,98) = 120·0,2031 = 24,37 kvar

Moc bierna z kondensatorów

Q_C = Q₁ − Q₂ = 65,63 kvar

Pojemność na fazę

W baterii połączonej w gwiazdę każdy kondensator jest włączony między przewód fazowy a punkt gwiazdowy.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 21878/(377·398,4²) = 365,7 µF

Odpowiedź

C_ph = 365,7 µF

3.Transformatory

Odpowiedź: I_HV = 10 A

Transformator idealny: napięcia mają się do siebie jak liczby zwojów, a prądy odwrotnie: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a oraz I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, więc moc wejściowa jest równa mocy wyjściowej, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedancja obciążenia Z po stronie wtórnej widziana od strony pierwotnej wynosi a²·Z.

Prąd znamionowy

Oba uzwojenia przenoszą tę samą moc pozorną.

I_HV = S/V = 100000/10000 = 10 A

Odpowiedź

I_HV = 10 A

4.Transformatory

Odpowiedź: P_loss = 956,3 W

Straty w transformatorze: straty w rdzeniu (histereza i prądy wirowe) zależą od napięcia i są takie same przy każdym obciążeniu. Straty w miedzi uzwojeń zmieniają się z kwadratem prądu, więc przy ułamku x obciążenia znamionowego wynoszą x²·P_cu,fl. Sprawność η = P_out/(P_out + P_core + P_cu), z P_out = x·S·pf. Sprawność jest najwyższa przy obciążeniu, przy którym straty w miedzi są równe stratom w rdzeniu.

Straty w miedzi przy tym obciążeniu

P_cu = x²·P_cu,fl = 0,5625·900 = 506,3 W

Straty całkowite

Straty w rdzeniu są takie same przy każdym obciążeniu.

P_loss = 450 + 506,3 = 956,3 W

Odpowiedź

P_loss = 956,3 W

Sprawność przy tym obciążeniu wynosi η = 97,92%.

5.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: Q = 5,846 kvar

Moc w obwodach AC: moc pozorna S = V·I (VA) dzieli się na moc czynną P = S·cos φ (W), która wykonuje pracę użyteczną, i moc bierną Q = S·sin φ (var), która krąży między źródłem a odbiornikiem. Współczynnik mocy to cos φ. Kondensator równoległy dostarcza moc bierną lokalnie, więc prąd linii maleje przy tej samej mocy czynnej.

Kąt

φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169

Moc bierna

Q = P·tan φ = 5·1,169 = 5,846 kvar

Odpowiedź

Q = 5,846 kvar

6.Moc AC i współczynnik mocy

Odpowiedź: I_new = 69,44 A

Moc bierna przed i po

Moc czynna P się nie zmienia; zmienia się tylko moc bierna pobierana z sieci.

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(49,46°) = 17,54 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(25,84°) = 7,265 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 10,27 kvar

Nowy prąd linii

I_new = P/(V·cos φ₂) = 15000/(240·0,9) = 69,44 A

Odpowiedź

I_new = 69,44 A

7.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: C = 12,67 µF

Obwody AC i wskazy: rezystory, cewki i kondensatory mają impedancje R, jωL i 1/(jωC), gdzie ω = 2πf. Szeregowo impedancje dodaje się jak rezystancje, ale jako liczby zespolone. Wartości skuteczne prądu i napięcia spełniają prawo Ohma z |Z|.

Warunek rezonansu

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(628,3²·0,2) = 12,67 µF

Odpowiedź

C = 12,67 µF

8.Impedancja i wskazy AC

Odpowiedź: f₀ = 107,3 Hz

Rezonans

W rezonansie reaktancje indukcyjna i pojemnościowa się znoszą: ωL = 1/(ωC). Częstotliwość zasilania nie ma znaczenia.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·22·10⁻⁶)) = 107,3 Hz

Odpowiedź

f₀ = 107,3 Hz

9.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: n = 1050 rpm

Silnik prądu stałego: twornik to rezystancja R_a połączona szeregowo z siłą przeciwelektromotoryczną E, więc V = E + I_a·R_a. Siła przeciwelektromotoryczna rośnie z prędkością, E = k·ω, a moment z prądem, T = k·I_a, przy tej samej stałej silnika k (V·s/rad = N·m/A) w jednostkach SI. Prędkości zamieniaj wzorem ω = 2π·n/60. Moc wytworzona to E·I_a = T·ω; moc wejściowa to V·I_a, a różnicę stanowią straty w miedzi I_a²R_a oraz straty mechaniczne. Prędkość maleje liniowo z momentem, ω = V/k − R_a·T/k², od prędkości biegu jałowego V/k do zera przy momencie utyku k·V/R_a. W spoczynku E = 0, więc prąd rozruchowy V/R_a jest duży, o ile nie ogranicza go rezystor.

Prąd twornika

I_a = T/k = 5/1 = 5 A

Siła przeciwelektromotoryczna i prędkość

E = 120 − 5·2 = 110 V

ω = E/k = 110 rad/s → n = 1050 rpm

Odpowiedź

n = 1050 rpm

10.Silniki prądu stałego

Odpowiedź: P_max = 2400 W

Moc w funkcji siły przeciwelektromotorycznej

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V

Moc maksymalna

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 120²/(4·1,5) = 2400 W

Odpowiedź

P_max = 2400 W

W tym punkcie sprawność wynosi tylko 50 %, więc rzeczywiste silniki pracują wyraźnie powyżej połowy prędkości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems