Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
Testy chi-kwadrat
- Statystyka testowa
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Test zgodności
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Niezależność
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Wartości krytyczne (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Decyzja
- odrzuć H0, jeśli χ² > χ²crit
2Zadania do ćwiczenia
1.Metody badawcze w psychologiiŚredni
95-procentowy przedział ufności dla średniej równej 50 wynosi od 46 do 54. Jaka interpretacja jest najtrafniejsza?
- AWynik nie jest istotny
- BIstnieje 95% szans, że średnia z próby wynosi 50
- C95% indywidualnych uczestników w próbie uzyskało w tej mierze wyniki od 46 do 54
- DZastosowana procedura daje przedziały, które w 95% przypadków zawierają prawdziwą średnią
2.Metody badawcze w psychologiiTrudny
W regresji wielokrotnej przewidującej wyniki egzaminu na podstawie godzin nauki i snu R² = 0,36. Co to oznacza?
- AGodziny nauki powodują 36% sukcesu na egzaminie
- BPredyktory razem wyjaśniają 36% wariancji wyników egzaminu
- C36% studentów zdało egzamin
- DKorelacja między predyktorami wynosi 0,36
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 56, 31, 48, 26, 31, 37, 36.
n = 7
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży powyżej 155?
μ = 170σ = 15x = 155
P =
5.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 2 osób z grupy 14 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 14k = 2
N =
6.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 9 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 9p = 0,7
P =
7.Rozkład normalnyŚredni
X ma rozkład normalny ze średnią 60 s i odchyleniem standardowym 5 s; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 45 s i odchyleniem standardowym 4 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 108,2 s. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 108,2 s
P =
8.Rozkład normalnyTrudny
Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,03 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
otwór: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
9.Przedziały ufnościŚredni
Próba 13 elementów ma średnią 34,5 i odchylenie standardowe s = 13. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 13x̄ = 34,5s = 1390%t(12) = 1,782
E =
10.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 9 poletek, średni plon 42,5 kg, odchylenie standardowe 3,5 kg. Grupa poletek 2: 5 poletek, średnia 36,5 kg, odchylenie standardowe 8,5 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
n₁ = 9x̄₁ = 42,5s₁ = 3,5n₂ = 5x̄₂ = 36,5s₂ = 8,590%t(12) = 1,782
dolna granica = kg
11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
9 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi −2,8, a odchylenie standardowe różnic 4,2. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μd = 0.
n = 9d̄ = −2,8sd = 4,2
t =
12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 5 jednostek z mocą 95 %. Odchylenie standardowe wynosi 25. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,01moc = 95%δ = 5σ = 25zα = 2,326zβ = 1,645
n =
13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 6
r =
14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (3, 2). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 5(3, 2)
e =
15.Testy chi-kwadratŚredni
Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „pracownicy, autobus”.
suma wiersza = 91suma kolumny = 53N = 202
E =
16.Testy chi-kwadratTrudny
Tabela pokazuje liczebności obserwowane. Sprawdź na poziomie α = 0,05, czy obie zmienne są niezależne (bez poprawki na ciągłość). Oblicz statystykę testową χ², a potem porównaj ją z wartością krytyczną z tabeli.
N = 2003 × 2α = 0,05
χ² =
3Roztwory
1.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: D · Zastosowana procedura daje przedziały, które w 95% przypadków zawierają prawdziwą średnią
Dlaczego to jest odpowiedź
95% CI daje zakres wiarygodnych wartości parametru populacji. Węższe przedziały, uzyskiwane przy większych próbach, oznaczają dokładniejsze oszacowania.
Odpowiedź
D · Zastosowana procedura daje przedziały, które w 95% przypadków zawierają prawdziwą średnią
2.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: B · Predyktory razem wyjaśniają 36% wariancji wyników egzaminu
Dlaczego to jest odpowiedź
R² pokazuje, jaką część zmienności wyniku wyjaśniają wszystkie predyktory razem. Nie dowodzi przyczynowości.
Odpowiedź
B · Predyktory razem wyjaśniają 36% wariancji wyników egzaminu
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 10,57
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 265/7 = 37,86
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 18,14² + (−6,857)² + 10,14² + (−11,86)² + (−6,857)² + (−0,8571)² + (−1,857)² = 670,9
Odchylenie standardowe
s = √(670,9/6) = 10,57
Odpowiedź
s = 10,57
4.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,8413
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Odpowiedź
P = 0,8413
5.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 91
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(14, 2) = (14·13)/(2·1) = 91
Odpowiedź
N = 91
6.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,000433
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,39 = 1,968 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 9·0,7·0,38 = 0,0004133
Dodaj
P = 1,968 × 10⁻⁵ + 0,0004133 = 0,000433
Odpowiedź
P = 0,000433
7.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,3085
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standaryzuj
z = (108,2 − 105)/6,403 = 0,5
Górny ogon
P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085
Odpowiedź
P = 0,3085
8.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,8849
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm
Standaryzuj
z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849
Odpowiedź
P = 0,8849
9.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 6,425
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 12, t = 1,782
Margines błędu
E = 1,782·13/√13 = 6,425
Odpowiedź
E = 6,425
10.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 0,3554 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (8·3,5² + 4·8,5²)/12 = 32,25
sp = 5,679
Margines błędu
E = 1,782·5,679·√(1/9 + 1/5) = 5,645
Przedział
6 ± 5,645 → [0,3554, 11,64]
Odpowiedź
dolna granica = 0,3554 kg
11.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −2
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Błąd standardowy średniej różnicy
SE = 4,2/√9 = 1,4
Statystyka testowa
t = −2,8/1,4 = −2
Odpowiedź
t = −2
Przy df = 8 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,306; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.
12.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 395
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = ((2,326 + 1,645)·25/5)² = 394,2
Zaokrąglij w górę
n = 395
Odpowiedź
n = 395
13.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = −0,9635
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 95/6 = 15,83
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −49,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 150,8
Współczynnik korelacji
r = −49,5/√(17,5·150,8) = −0,9635
Odpowiedź
r = −0,9635
14.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = −2,05
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 45/5 = 9
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66
Prosta regresji
b = 66/40 = 1,65
a = 9 − 1,65·6 = −0,9
ŷ = −0,9 + 1,65·x
Wartość przewidywana
ŷ = −0,9 + 1,65·3 = 4,05
Reszta
e = 2 − 4,05 = −2,05
Odpowiedź
e = −2,05
Punkt leży pod prostą.
15.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: E = 23,88
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Liczebność oczekiwana
E = 91·53/202 = 23,88
Odpowiedź
E = 23,88
16.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: χ² = 7,474
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Liczebności oczekiwane
wiek 18–30: 64, 16
wiek 31–50: 48, 12
wiek 51+: 48, 12
Statystyka chi-kwadrat
χ² = (69 − 64)²/64 + (11 − 16)²/16 + (50 − 48)²/48 + (10 − 12)²/12 + (41 − 48)²/48 + (19 − 12)²/12
χ² = 7,474
Decyzja
df = 2, χ²crit = 5,991
7,474 > 5,991
Odpowiedź
χ² = 7,474
χ² jest większe od wartości krytycznej, więc H₀ zostaje odrzucona: zmienne wydają się powiązane.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology