Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
Testy chi-kwadrat
- Statystyka testowa
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Test zgodności
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Niezależność
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Wartości krytyczne (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Decyzja
- odrzuć H0, jeśli χ² > χ²crit
2Zadania do ćwiczenia
1.Metody badawcze w psychologiiŚredni
Eksperci sprawdzają, czy zadania egzaminu z matematyki obejmują wszystkie tematy programu. Ocenia to:
- ATrafność treściową
- BTrafność prognostyczną
- CRzetelność test-retest
- DTrafność ekologiczną
2.Metody badawcze w psychologiiTrudny
Skala samoopisowa wykazuje, że osoby zgadzające się z wieloma stwierdzeniami uzyskują wysokie wyniki niezależnie od treści. Jakie to obciążenie odpowiedzi i jak można je ograniczyć?
- ATendencja do potakiwania; włączyć pozycje odwrócone
- BCharakterystyki żądań; zastosować schemat podwójnie ślepy
- CEfekty kolejności; zrównoważyć kolejność uczestników
- DObciążenie aprobatą społeczną; użyć większej próby
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 47, 22, 15, 19, 60.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży poniżej 30?
μ = 60σ = 20x = 30
P =
5.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 5 osób z grupy 10 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 10k = 5
N =
6.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 5 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,2. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 5p = 0,2
P =
7.Rozkład normalnyŚredni
Masy worków cementu są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 kg i odchyleniem standardowym 0,5 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 8 z nich będzie mniejsza niż 197,9 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 8< 197.9 kg
P =
8.Rozkład normalnyTrudny
Masa X produktu z linii 1 i masa Y produktu z linii 2 są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 500 g i odchylenie standardowe 8 g, Y ma średnią 490 g i odchylenie standardowe 6 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
9.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 80 telefonów, średnia 46 h, znane odchylenie standardowe 15 h. Model 2: 50 telefonów, średnia 56,5 h, znane odchylenie standardowe 20 h. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
n₁ = 80x̄₁ = 46 hσ₁ = 15 hn₂ = 50x̄₂ = 56,5 hσ₂ = 20 h90%
dolna granica = h
10.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 8. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?
σ = 8E = 299%
n =
11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 100 części ma średnią długość 56,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 10 mm. Linia 2: próba 60 części ma średnią 60,8 mm, znane odchylenie standardowe 18 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).
n₁ = 100x̄₁ = 56,5 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 60x̄₂ = 60,8 mmσ₂ = 18 mm
z =
12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5? Odchylenie standardowe wynosi 10. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.
σ = 10E = 2,590%
n =
13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5Σx = 30Σy = 59Σx² = 220Σy² = 889Σxy = 440
r =
14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 23.
n = 6x = 23
ŷ =
15.Testy chi-kwadratŚredni
Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.
N = 2002 × 3
χ² =
16.Testy chi-kwadratTrudny
Tabela pokazuje liczebności obserwowane. Sprawdź na poziomie α = 0,05, czy obie zmienne są niezależne (bez poprawki na ciągłość). Oblicz statystykę testową χ², a potem porównaj ją z wartością krytyczną z tabeli.
N = 2803 × 2α = 0,05
χ² =
3Roztwory
1.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: A · Trafność treściową
Dlaczego to jest odpowiedź
Trafność treściowa to stopień, w jakim miara obejmuje wszystkie istotne aspekty konstruktu; zwykle oceniają ją eksperci.
Odpowiedź
A · Trafność treściową
2.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: A · Tendencja do potakiwania; włączyć pozycje odwrócone
Dlaczego to jest odpowiedź
Potakiwanie to tendencja do zgadzania się z pozycjami. Mieszanie pozycji sformułowanych pozytywnie i negatywnie sprawia, że zgadzanie się ze wszystkim nie daje już skrajnego wyniku.
Odpowiedź
A · Tendencja do potakiwania; włączyć pozycje odwrócone
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 19,78
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 163/5 = 32,6
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 14,4² + (−10,6)² + (−17,6)² + (−13,6)² + 27,4² = 1565
Odchylenie standardowe
s = √(1565/4) = 19,78
Odpowiedź
s = 19,78
4.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,06681
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1,5
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Odpowiedź
P = 0,06681
5.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 252
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(10, 5) = (10·9·8·7·6)/(5·4·3·2·1) = 252
Odpowiedź
N = 252
6.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,7373
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,85 = 0,3277
P(X = 1) = 5·0,2·0,84 = 0,4096
Dodaj
P = 0,3277 + 0,4096 = 0,7373
Odpowiedź
P = 0,7373
7.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,06944
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy całkowitej
μT = 200 kg, σT = 0,5·√8 = 1,414 kg
Standaryzuj
z = (197,9 − 200)/1,414 = −1,48
Prawdopodobieństwo
P = Φ(−1,48) = 0,06944
Odpowiedź
P = 0,06944
8.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,8413
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład różnicy
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standaryzuj
z = (0 − 10)/10 = −1
Prawdopodobieństwo
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Odpowiedź
P = 0,8413
9.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −15,91 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 46 − 56,5 = −10,5
Błąd standardowy
SE = √(15²/80 + 20²/50) = 3,288
Margines błędu
E = 1,645·3,288 = 5,409
Przedział
−10,5 ± 5,409 → [−15,91, −5,091]
Odpowiedź
dolna granica = −15,91 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
10.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 107
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (2,576·8/2)² = 106,2
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 107
Odpowiedź
n = 107
11.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = −1,7
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Błąd standardowy różnicy
SE = √(10²/100 + 18²/60) = √6,4 = 2,53
Statystyka testowa
z = (56,5 − 60,8)/2,53 = −1,7
Odpowiedź
z = −1,7
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
12.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 44
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Wyznacz n
n = (1,645·10/2,5)² = 43,3
Zaokrąglij w górę
n = 44
Odpowiedź
n = 44
13.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9793
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 440 − 30·59/5 = 86
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 889 − 59²/5 = 192,8
Współczynnik korelacji
r = 86/√(40·192,8) = 0,9793
Odpowiedź
r = 0,9793
14.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: ŷ = 123
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 661/6 = 110,2
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 449
Prosta regresji
b = 449/70 = 6,414
a = 110,2 − 6,414·21 = −24,53
ŷ = −24,53 + 6,414·x
Prognoza
ŷ = −24,53 + 6,414·23 = 123
Odpowiedź
ŷ = 123
15.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: χ² = 22,22
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Liczebności oczekiwane
zmiana dzienna: 120·60/200 = 36, 120·60/200 = 36, 120·80/200 = 48
zmiana nocna: 80·60/200 = 24, 80·60/200 = 24, 80·80/200 = 32
Statystyka chi-kwadrat
χ² = (28 − 36)²/36 + (28 − 36)²/36 + (64 − 48)²/48 + (32 − 24)²/24 + (32 − 24)²/24 + (16 − 32)²/32
χ² = 22,22
Odpowiedź
χ² = 22,22
df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.
16.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: χ² = 24
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Liczebności oczekiwane
zakład A: 56, 24
zakład B: 70, 30
zakład C: 70, 30
Statystyka chi-kwadrat
χ² = (48 − 56)²/56 + (32 − 24)²/24 + (88 − 70)²/70 + (12 − 30)²/30 + (60 − 70)²/70 + (40 − 30)²/30
χ² = 24
Decyzja
df = 2, χ²crit = 5,991
24 > 5,991
Odpowiedź
χ² = 24
χ² jest większe od wartości krytycznej, więc H₀ zostaje odrzucona: zmienne wydają się powiązane.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology