Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

W analizie treści rzetelność międzysędziowską sprawdza się przez:

AZapytanie uczestników po badaniu, czy kodowanie ich materiału przez badacza jest poprawne
BDwukrotne kodowanie materiału w ciągu jednego dnia
CUżycie większej próby materiałów
DKodowanie tego samego materiału przez dwóch badaczy i porównanie wyników

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Uczestnik przyjmuje lek albo tabletkę cukrową, ale nie wie, którą, a badacz wie. Jaki to schemat i jakie obciążenie nadal jest możliwe?

APodwójnie ślepy; żadne obciążenie nie jest możliwe
BPojedynczo ślepy; charakterystyki żądań są niemożliwe
CBadanie otwarte; efekty placebo są w pełni kontrolowane
DPojedynczo ślepy; nadal możliwe jest obciążenie ze strony eksperymentatora

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 17, 11, 60, 10, 21, 43.

n = 6

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 60 i odchyleniem standardowym 12. Jaka część P wartości leży powyżej 67,2?

μ = 60σ = 12x = 67,2

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Na ile sposobów N można wybrać komisję 4 osób z grupy 8 osób? Kolejność nie ma znaczenia.

n = 8k = 4

N =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = −2X + 4. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,35, 0,3, 0,2Y = −2X + 4

σ_Y =

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 50 a 75 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 65σ = 10x₁ = 50x₂ = 75

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,04 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,015 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 11 elementów ma średnią 72 i odchylenie standardowe s = 1,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 11x̄ = 72s = 1,590%t(10) = 1,812

górna granica =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 7. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1?

σ = 7E = 190%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

8 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi −10,61, a odchylenie standardowe różnic 7,5. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μ_d = 0.

n = 8d̄ = −10,61s_d = 7,5

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 500 przeciw H₁: μ > 500 przeprowadza się na poziomie α = 0,01 na próbie o liczebności 36; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 12. W rzeczywistości średnia wynosi 504,8. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.

μ₀ = 500μ = 504,8σ = 12n = 36α = 0,01

β = %

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (2, 35). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(2, 35)

e =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1402 × 2

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat sprawdza, czy liczebności w 8 kategoriach mają rozkład Poissona, którego średnią estymuje się z tych samych danych. Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²_crit na poziomie istotności α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · Kodowanie tego samego materiału przez dwóch badaczy i porównanie wyników

Dlaczego to jest odpowiedź

Jeśli niezależni koderzy nadają tym samym danym podobne kody (wysoka zgodność lub korelacja), schemat kodowania jest rzetelny.

Odpowiedź

D · Kodowanie tego samego materiału przez dwóch badaczy i porównanie wyników

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: D · Pojedynczo ślepy; nadal możliwe jest obciążenie ze strony eksperymentatora

Dlaczego to jest odpowiedź

W schemacie pojedynczo ślepym uczestnicy nie znają swojego warunku, co kontroluje oczekiwania związane z placebo. Wiedza badacza nadal może wpływać na wyniki, dlatego preferuje się schematy podwójnie ślepe.

Odpowiedź

D · Pojedynczo ślepy; nadal możliwe jest obciążenie ze strony eksperymentatora

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 20,13

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 162/6 = 27

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−10)² + (−16)² + 33² + (−17)² + (−6)² + 16² = 2026

Odchylenie standardowe

s = √(2026/5) = 20,13

Odpowiedź

s = 20,13

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,2743

Standaryzuj

z = 0,6

Tablica rozkładu normalnego

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Odpowiedź

P = 0,2743

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: N = 70

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinacje

C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70

Odpowiedź

N = 70

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 3,894

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Rozrzut X

μ = 3,1, Var(X) = 3,79, σ_X = 1,947

Zmiana liniowa

σ_Y = |−2|·1,947 = 3,894

Odpowiedź

σ_Y = 3,894

Średnia się przesuwa: E(Y) = −2·3,1 + 4 = −2,2.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7745

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (50 − 65)/10 = −1,5

z₂ = (75 − 65)/10 = 1

Pole pomiędzy

P = Φ(1) − Φ(−1,5) = 0,8413 − 0,06681 = 0,7745

Odpowiedź

P = 0,7745

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,9452

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład różnicy

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452

Odpowiedź

P = 0,9452

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 72,82

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Margines błędu

E = 1,812·1,5/√11 = 0,8195

Przedział

72 ± 0,8195 → [71,18, 72,82]

Odpowiedź

górna granica = 72,82

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 133

Wyznacz n

n = (1,645·7/1)² = 132,6

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 133

Odpowiedź

n = 133

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −4,001

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Błąd standardowy średniej różnicy

SE = 7,5/√8 = 2,652

Statystyka testowa

t = −10,61/2,652 = −4,001

Odpowiedź

t = −4,001

Przy df = 7 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,365; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: β = 47,05 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 12/√36 = 2

x̄_c = 500 + 2,326·2 = 504,7

z przy prawdziwej średniej

z = (504,7 − 504,8)/2 = −0,074

Błąd II rodzaju

moc = P(Z > −0,074) = 52,95%

β = 100% − 52,95% = 47,05%

Odpowiedź

β = 47,05%

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9812

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 59/6 = 9,833

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 111

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 182,8

Współczynnik korelacji

r = 111/√(70·182,8) = 0,9812

Odpowiedź

r = 0,9812

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = −2,65

Średnie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 261/5 = 52,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 194

Prosta regresji

b = 194/40 = 4,85

a = 52,2 − 4,85·5 = 27,95

ŷ = 27,95 + 4,85·x

Wartość przewidywana

ŷ = 27,95 + 4,85·2 = 37,65

Reszta

e = 35 − 37,65 = −2,65

Odpowiedź

e = −2,65

Punkt leży pod prostą.

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 6,806

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

mężczyźni: 80·42/140 = 24, 80·98/140 = 56

kobiety: 60·42/140 = 18, 60·98/140 = 42

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (31 − 24)²/24 + (49 − 56)²/56 + (11 − 18)²/18 + (49 − 42)²/42

χ² = 6,806

Odpowiedź

χ² = 6,806

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ²_crit = 12,59

Stopnie swobody

df = 8 − 1 − 1 = 6

Tabela

χ²_crit(df = 6, α = 0,05) = 12,592

Odpowiedź

χ²_crit = 12,592

Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology