Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Który plan wykorzystuje różnych uczestników w każdym warunku?

APlan grup niezależnych
BPlan wewnątrzosobniczy
CPlan z powtarzanym pomiarem
DPlan par dobranych z tymi samymi osobami

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Instytut psychologii rekrutuje uczestników wyłącznie z kursów wprowadzających do psychologii. Krytycy mówią, że próby są „WEIRD". Co to oznacza?

APróby z krajów zachodnich, wykształconych, uprzemysłowionych, bogatych i demokratycznych (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic), które mogą się nie uogólniać
BPróby rekrutowane ważonymi metodami losowymi
CPróby, które wcześnie wycofują się z badań
DPróby o niezwykle dziwnym zachowaniu

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 15, 58, 50, 52, 55.

n = 5

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 12. Jaka część P wartości leży poniżej 74?

μ = 50σ = 12x = 74

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,35, 0,25, 0,15

σ =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 2X + 20. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,1, 0,35, 0,25Y = 2X + 20

σ_Y =

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Jaka część wartości leży między 166,8 a 192,35 cm? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 178σ = 7x₁ = 166,8x₂ = 192,35

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 10% wszystkich wartości (10. percentyl).

μ = 250σ = 5P = 10%

x = g

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 21 elementów ma średnią 103 i odchylenie standardowe s = 13,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 21x̄ = 103s = 13,595%t(20) = 2,086

górna granica =

10.Przedziały ufnościTrudny

Badanie pilotażowe sugeruje, że wadliwych jest około 0,8 produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 99 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,04?

p ≈ 0,8E = 0,0499%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 64 studentów ma średni wynik 95,35 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 95,35s = 12n = 64

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 99 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2? Odchylenie standardowe wynosi 8. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 8E = 299%

n =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (19, 68). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 6(19, 68)

e =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 2002 × 2

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat porównuje liczebności obserwowane w 4 kategoriach z w pełni określonymi oczekiwanymi udziałami (żadne parametry nie są estymowane z danych). Ile stopni swobody df ma test?

k = 4

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Plan grup niezależnych

Dlaczego to jest odpowiedź

W planie grup niezależnych każdy warunek ma innych uczestników, co eliminuje efekty kolejności, ale wiąże się z ryzykiem wpływu zmiennych osobowych.

Odpowiedź

A · Plan grup niezależnych

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Próby z krajów zachodnich, wykształconych, uprzemysłowionych, bogatych i demokratycznych (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic), które mogą się nie uogólniać

Dlaczego to jest odpowiedź

Henrich i współpracownicy zauważyli, że większość uczestników badań psychologicznych pochodzi ze społeczeństw WEIRD, które nie są reprezentatywne dla ludzkości, co zagraża trafności populacyjnej.

Odpowiedź

A · Próby z krajów zachodnich, wykształconych, uprzemysłowionych, bogatych i demokratycznych (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic), które mogą się nie uogólniać

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 17,59

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 230/5 = 46

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−31)² + 12² + 4² + 6² + 9² = 1238

Odchylenie standardowe

s = √(1238/4) = 17,59

Odpowiedź

s = 17,59

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9772

Standaryzuj

z = 2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Odpowiedź

P = 0,9772

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 10,05

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 10·0,25 + 20·0,35 + 30·0,25 + 40·0,15 = 23

Średnia kwadratów

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,35 + 900·0,25 + 1600·0,15 = 630

Wariancja

Var(X) = 630 − 23² = 101

σ = √101 = 10,05

Odpowiedź

σ = 10,05

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 2,322

Rozrzut X

μ = 1,55, Var(X) = 1,348, σ_X = 1,161

Zmiana liniowa

σ_Y = |2|·1,161 = 2,322

Odpowiedź

σ_Y = 2,322

Średnia się przesuwa: E(Y) = 2·1,55 + 20 = 23,1.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,925

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (166,8 − 178)/7 = −1,6

z₂ = (192,35 − 178)/7 = 2,05

Pole pomiędzy

P = Φ(2,05) − Φ(−1,6) = 0,9798 − 0,0548 = 0,925

Odpowiedź

P = 0,925

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 243,6 g

z dla percentyla

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Powrót do x

x = 250 + −1,282·5 = 243,59 g

Odpowiedź

x = 243,59 g

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 109,1

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 20, t = 2,086

Margines błędu

E = 2,086·13,5/√21 = 6,145

Przedział

103 ± 6,145 → [96,85, 109,1]

Odpowiedź

górna granica = 109,1

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 664

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Wyznacz n

n = 2,576²·0,8·0,2/0,04² = 663,6

Zaokrąglij w górę

n = 664

Odpowiedź

n = 664

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −3,1

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5

Statystyka testowa

t = (95,35 − 100)/1,5 = −3,1

Odpowiedź

t = −3,1

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 107

Wyznacz n

n = (2,576·8/2)² = 106,2

Zaokrąglij w górę

n = 107

Odpowiedź

n = 107

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9865

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 173/6 = 28,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 287

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1193

Współczynnik determinacji

r² = 287²/(70·1193) = 0,9865

Odpowiedź

r² = 0,9865

Około 98,65% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = −3,681

Średnie

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 481/6 = 80,17

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 297

Prosta regresji

b = 297/70 = 4,243

a = 80,17 − 4,243·21 = −8,933

ŷ = −8,933 + 4,243·x

Wartość przewidywana

ŷ = −8,933 + 4,243·19 = 71,68

Reszta

e = 68 − 71,68 = −3,681

Odpowiedź

e = −3,681

Punkt leży pod prostą.

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 0,8929

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

nowy lek: 80·60/200 = 24, 80·140/200 = 56

placebo: 120·60/200 = 36, 120·140/200 = 84

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (27 − 24)²/24 + (53 − 56)²/56 + (33 − 36)²/36 + (87 − 84)²/84

χ² = 0,8929

Odpowiedź

χ² = 0,8929

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 3

Stopnie swobody

df = 4 − 1 = 3

Odpowiedź

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology