Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
Testy chi-kwadrat
- Statystyka testowa
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Test zgodności
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Niezależność
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Wartości krytyczne (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Decyzja
- odrzuć H0, jeśli χ² > χ²crit
2Zadania do ćwiczenia
1.Metody badawcze w psychologiiŚredni
Który test nadaje się do porównania średnich dwóch niezależnych grup z danymi przedziałowymi o rozkładzie zbliżonym do normalnego?
- ATest chi-kwadrat
- BTest t dla prób niezależnych
- CKorelacja Pearsona
- DTest Wilcoxona dla par obserwacji
2.Metody badawcze w psychologiiTrudny
Miary wielkości efektu, takie jak d Cohena, podaje się, ponieważ:
- AMówią, ilu uczestników zrezygnowało
- BPokazują, jak duży jest efekt, niezależnie od liczebności próby
- CZastępują potrzebę stawiania hipotez
- DPokazują, czy wynik jest statystycznie istotny na wybranym poziomie alfa
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 41, 47, 18, 37, 41.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 15. Jaka część P wartości leży poniżej 85?
μ = 70σ = 15x = 85
P =
5.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 4 osób z grupy 10 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 10k = 4
N =
6.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 5 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 5p = 0,5
P =
7.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,7287. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,7287
z =
8.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 80% wszystkich wartości (80. percentyl).
μ = 250σ = 5P = 80%
x = g
9.Przedziały ufnościŚredni
Przedział ufności 95 % dla średniej, oparty na 25 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 4,8. Jaki będzie margines błędu E₂, jeśli to samo badanie obejmie 100 obserwacji?
95%n₁ = 25E₁ = 4,8n₂ = 100
E₂ =
10.Przedziały ufnościTrudny
Średnice 25 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 6,9 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: dolna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 24 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 12,401, a 2,5 % powyżej 39,364.
n = 25s = 6,9 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 49 studentów ma średni wynik 47,94 i odchylenie standardowe z próby 8. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 47,94s = 8n = 49
t =
12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 78 z 120 pacjentów leczonych metodą A i 57 z 100 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 78n₁ = 120x₂ = 57n₂ = 100
z =
13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.
n = 6
r² =
14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (25, 53). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 5(25, 53)
e =
15.Testy chi-kwadratŚredni
Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.
N = 1602 × 3
χ² =
16.Testy chi-kwadratTrudny
Test zgodności chi-kwadrat sprawdza, czy liczebności w 6 kategoriach mają rozkład Poissona, którego średnią estymuje się z tych samych danych. Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²crit na poziomie istotności α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3Roztwory
1.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: B · Test t dla prób niezależnych
Dlaczego to jest odpowiedź
Test t dla prób niezależnych porównuje dwie średnie grupowe. Chi-kwadrat jest dla liczebności; Wilcoxon dla prób zależnych z danymi nieparametrycznymi.
Odpowiedź
B · Test t dla prób niezależnych
2.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: B · Pokazują, jak duży jest efekt, niezależnie od liczebności próby
Dlaczego to jest odpowiedź
Przy dużych próbach nawet drobne efekty mogą być istotne. Wielkość efektu wyraża rozmiar różnicy, np. d = 0,2 mały, 0,5 średni, 0,8 duży.
Odpowiedź
B · Pokazują, jak duży jest efekt, niezależnie od liczebności próby
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 11,1
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 184/5 = 36,8
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 4,2² + 10,2² + (−18,8)² + 0,2² + 4,2² = 492,8
Odchylenie standardowe
s = √(492,8/4) = 11,1
Odpowiedź
s = 11,1
4.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,8413
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 1
Tablica rozkładu normalnego
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Odpowiedź
P = 0,8413
5.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 210
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(10, 4) = (10·9·8·7)/(4·3·2·1) = 210
Odpowiedź
N = 210
6.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,1875
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,55 = 0,03125
P(X = 1) = 5·0,5·0,54 = 0,1563
Dodaj
P = 0,03125 + 0,1563 = 0,1875
Odpowiedź
P = 0,1875
7.Rozkład normalny
Odpowiedź: z = 1,1
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = (1 + 0,7287)/2 = 0,8643
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,8643 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = 1,10
Odpowiedź
z = 1,10
8.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 254,2 g
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Powrót do x
x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g
Odpowiedź
x = 254,21 g
9.Przedziały ufności
Odpowiedź: E₂ = 2,4
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Stosunek marginesów
E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(25/100) = 0,5
Nowy margines
E₂ = 4,8·0,5 = 2,4
Odpowiedź
E₂ = 2,4
10.Przedziały ufności
Odpowiedź: σ = 5,388 µm
Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.
Suma kwadratów
(n − 1)s² = 24·6,9² = 1143
Granice dla σ²
1143/39,364 = 29,03
1143/12,401 = 92,14
Granica dla σ
σ = √29,03 = 5,388 µm
Odpowiedź
σ = 5,388 µm
Przedział 95 % dla σ: [5,388, 9,599] µm.
11.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −1,803
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143
Statystyka testowa
t = (47,94 − 50)/1,143 = −1,803
Odpowiedź
t = −1,803
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
12.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 1,213
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 78/120 = 0,65
p̂₂ = 57/100 = 0,57
p̂ = 135/220 = 0,6136
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,6136·0,3864·(1/120 + 1/100)) = 0,06593
Statystyka testowa
z = (0,65 − 0,57)/0,06593 = 1,213
Odpowiedź
z = 1,213
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
13.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r² = 0,9545
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 122/6 = 20,33
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35
Syy = Σ(y − ȳ)² = 73,33
Współczynnik determinacji
r² = −35²/(17,5·73,33) = 0,9545
Odpowiedź
r² = 0,9545
Około 95,45% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.
14.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = −3,3
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 235/5 = 47
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124
Prosta regresji
b = 124/40 = 3,1
a = 47 − 3,1·22 = −21,2
ŷ = −21,2 + 3,1·x
Wartość przewidywana
ŷ = −21,2 + 3,1·25 = 56,3
Reszta
e = 53 − 56,3 = −3,3
Odpowiedź
e = −3,3
Punkt leży pod prostą.
15.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: χ² = 2
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Liczebności oczekiwane
studenci: 40·48/160 = 12, 40·48/160 = 12, 40·64/160 = 16
pracownicy: 120·48/160 = 36, 120·48/160 = 36, 120·64/160 = 48
Statystyka chi-kwadrat
χ² = (15 − 12)²/12 + (9 − 12)²/12 + (16 − 16)²/16 + (33 − 36)²/36 + (39 − 36)²/36 + (48 − 48)²/48
χ² = 2
Odpowiedź
χ² = 2
df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.
16.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: χ²crit = 9,488
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Stopnie swobody
df = 6 − 1 − 1 = 4
Tabela
χ²crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488
Odpowiedź
χ²crit = 9,488
Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology