Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Która statystyka jest odpowiednia dla związku między dwoma zestawami rang, np. rankingami obrazów ułożonymi przez sędziów?

ARho Spearmana
BChi-kwadrat
CTest t dla prób niezależnych
Dr Pearsona

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

W badaniach posłuszeństwa Milgrama uczestnicy wierzyli, że aplikują prawdziwe wstrząsy elektryczne. Jaki problem etyczny pojawia się najbardziej bezpośrednio i jak go częściowo rozwiązano?

AUdział dzieci, rozwiązany przez zgodę rodziców
BWprowadzenie w błąd i możliwy stres, rozwiązane przez dokładny debriefing
CBrak grupy kontrolnej, rozwiązany przez losowy przydział uczestników do warunków
DBrak poufności, rozwiązany przez opublikowanie nazwisk

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 13, 43, 28, 48, 54, 16.

n = 6

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży powyżej 88?

μ = 100σ = 8x = 88

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,25, 0,3, 0,15

Var(X) =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 7 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,25. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 7p = 0,25

P =

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Jaka część wartości leży między 96,25 a 130,75 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 100σ = 15x₁ = 96,25x₂ = 130,75

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 90% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 178 cmσ = 7 cm90%

x = cm

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 6 elementów ma średnią 110,5 i odchylenie standardowe s = 8,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 6x̄ = 110,5s = 8,590%t(5) = 2,015

E =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 26. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?

σ = 26E = 1,595%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 100 studentów ma średni wynik 51,36 i odchylenie standardowe z próby 8. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51,36s = 8n = 100

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 16 pomiarów ma średnią 49,8. Odchylenie standardowe populacji wynosi 10. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 90 % dla średniej.

x̄ = 49,8σ = 10n = 1690%

L =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (9, 18). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(9, 18)

e =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 802 × 2

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat sprawdza, czy liczebności w 5 kategoriach mają rozkład Poissona, którego średnią estymuje się z tych samych danych. Ile stopni swobody df ma test?

k = 5

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Rho Spearmana

Dlaczego to jest odpowiedź

Korelacja rang Spearmana mierzy siłę monotonicznego związku między dwiema zmiennymi rangowymi lub porządkowymi.

Odpowiedź

A · Rho Spearmana

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Wprowadzenie w błąd i możliwy stres, rozwiązane przez dokładny debriefing

Dlaczego to jest odpowiedź

Uczestników wprowadzono w błąd co do wstrząsów, a wielu okazywało silny stres. Milgram przeprowadził debriefing i spotkania z „uczniem"; badanie kontrolne wykazało, że większość była zadowolona z udziału, ale kwestie etyczne pozostają przedmiotem sporu.

Odpowiedź

B · Wprowadzenie w błąd i możliwy stres, rozwiązane przez dokładny debriefing

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 17,19

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 202/6 = 33,67

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−20,67)² + 9,333² + (−5,667)² + 14,33² + 20,33² + (−17,67)² = 1477

Odchylenie standardowe

s = √(1477/5) = 17,19

Odpowiedź

s = 17,19

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9332

Standaryzuj

z = −1,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Odpowiedź

P = 0,9332

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 1,11

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 1·0,3 + 2·0,25 + 3·0,3 + 4·0,15 = 2,3

Średnia kwadratów

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,25 + 9·0,3 + 16·0,15 = 6,4

Wariancja

Var(X) = 6,4 − 2,3² = 1,11

Odpowiedź

Var(X) = 1,11

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,4449

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,75⁷ = 0,1335

P(X = 1) = 7·0,25·0,75⁶ = 0,3115

Dodaj

P = 0,1335 + 0,3115 = 0,4449

Odpowiedź

P = 0,4449

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,5785

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (96,25 − 100)/15 = −0,25

z₂ = (130,75 − 100)/15 = 2,05

Pole pomiędzy

P = Φ(2,05) − Φ(−0,25) = 0,9798 − 0,4013 = 0,5785

Odpowiedź

P = 0,5785

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 169 cm

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,1

z z tablicy

z ≈ −1,28

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 178 − 1,28·7 = 169 cm

Odpowiedź

x = 169 cm

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 6,992

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Margines błędu

E = 2,015·8,5/√6 = 6,992

Odpowiedź

E = 6,992

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1155

Wyznacz n

n = (1,96·26/1,5)² = 1154

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 1155

Odpowiedź

n = 1155

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,7

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Statystyka testowa

t = (51,36 − 50)/0,8 = 1,7

Odpowiedź

t = 1,7

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: L = 45,69

Margines błędu

E = 1,645·10/√16 = 4,112

Granica przedziału

L = 49,8 − 4,112 = 45,69

Odpowiedź

L = 45,69

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9813

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 456/6 = 76

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 334

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1624

Współczynnik determinacji

r² = 334²/(70·1624) = 0,9813

Odpowiedź

r² = 0,9813

Około 98,13% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 1,8

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 60/5 = 12

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56

Prosta regresji

b = 56/40 = 1,4

a = 12 − 1,4·6 = 3,6

ŷ = 3,6 + 1,4·x

Wartość przewidywana

ŷ = 3,6 + 1,4·9 = 16,2

Reszta

e = 18 − 16,2 = 1,8

Odpowiedź

e = 1,8

Punkt leży nad prostą.

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 12,93

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

palący: 40·44/80 = 22, 40·36/80 = 18

niepalący: 40·44/80 = 22, 40·36/80 = 18

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (14 − 22)²/22 + (26 − 18)²/18 + (30 − 22)²/22 + (10 − 18)²/18

χ² = 12,93

Odpowiedź

χ² = 12,93

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 3

Stopnie swobody

df = 5 − 1 − 1 = 3

Odpowiedź

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology