Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Trafność ekologiczna oznacza:

ANa ile wyniki dają się uogólnić na sytuacje z życia codziennego
BCzy test wygląda, jakby mierzył właściwą rzecz
CNa ile test jest spójny w czasie
DCzy test przewiduje przyszłe zachowanie

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

W teorii ugruntowanej zbieranie danych trwa, dopóki:

APierwotna hipoteza nie zostanie potwierdzona
BNie przeprowadzi się wywiadów z co najmniej 1,000 uczestników
CNie zostanie osiągnięte nasycenie teoretyczne, a nowe dane nie wnoszą nowych kategorii
DNie uzyska się wartości p poniżej 0,05

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 37, 20, 51, 57, 12, 14.

n = 6

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży poniżej 46?

μ = 50σ = 5x = 46

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 3 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 3

P =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 5X + 20. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,2, 0,25, 0,3Y = 5X + 20

σ_Y =

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Jaka część wartości leży między 23,3 a 35,3 min? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 32σ = 6x₁ = 23,3x₂ = 35,3

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 5% wszystkich wartości (5. percentyl).

μ = 250σ = 5P = 5%

x = g

9.Przedziały ufnościŚredni

Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 80 telefonów, średnia 56,5 h, znane odchylenie standardowe 18 h. Model 2: 60 telefonów, średnia 71 h, znane odchylenie standardowe 11 h. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 56,5 hσ₁ = 18 hn₂ = 60x̄₂ = 71 hσ₂ = 11 h90%

dolna granica = h

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 22. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?

σ = 22E = 1,595%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 5 uczniów, średni wynik 113, odchylenie standardowe 3. Grupa 2: 7 uczniów, średni wynik 119,8, odchylenie standardowe 8,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 5x̄₁ = 113s₁ = 3n₂ = 7x̄₂ = 119,8s₂ = 8,5

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Próba 36 pomiarów ma średnią 499,3. Odchylenie standardowe populacji wynosi 4. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.

x̄ = 499,3σ = 4n = 3690%

U =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6Σx = 33Σy = 378Σx² = 199Σy² = 23928Σxy = 2110

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 116?

n = 6ŷ = 116

x =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1602 × 2

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat sprawdza, czy liczebności w 7 kategoriach mają rozkład Poissona, którego średnią estymuje się z tych samych danych. Ile stopni swobody df ma test?

k = 7

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Na ile wyniki dają się uogólnić na sytuacje z życia codziennego

Dlaczego to jest odpowiedź

Trafność ekologiczna dotyczy tego, czy wyniki odnoszą się do sytuacji codziennych. Ściśle kontrolowane badania laboratoryjne często wypadają tu słabo.

Odpowiedź

A · Na ile wyniki dają się uogólnić na sytuacje z życia codziennego

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: C · Nie zostanie osiągnięte nasycenie teoretyczne, a nowe dane nie wnoszą nowych kategorii

Dlaczego to jest odpowiedź

Teoria ugruntowana rozwija teorię indukcyjnie, zbierając i kodując dane równolegle, i kończy dobór próby, gdy nowe dane nie rozwijają już kategorii.

Odpowiedź

C · Nie zostanie osiągnięte nasycenie teoretyczne, a nowe dane nie wnoszą nowych kategorii

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 19,38

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 191/6 = 31,83

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 5,167² + (−11,83)² + 19,17² + 25,17² + (−19,83)² + (−17,83)² = 1879

Odchylenie standardowe

s = √(1879/5) = 19,38

Odpowiedź

s = 19,38

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,2119

Standaryzuj

z = −0,8

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Odpowiedź

P = 0,2119

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,4213

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Odpowiedź

P = 0,4213

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 5,788

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Rozrzut X

μ = 2,6, Var(X) = 1,34, σ_X = 1,158

Zmiana liniowa

σ_Y = |5|·1,158 = 5,788

Odpowiedź

σ_Y = 5,788

Średnia się przesuwa: E(Y) = 5·2,6 + 20 = 33.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6353

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (23,3 − 32)/6 = −1,45

z₂ = (35,3 − 32)/6 = 0,55

Pole pomiędzy

P = Φ(0,55) − Φ(−1,45) = 0,7088 − 0,07353 = 0,6353

Odpowiedź

P = 0,6353

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 241,8 g

z dla percentyla

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Powrót do x

x = 250 + −1,645·5 = 241,78 g

Odpowiedź

x = 241,78 g

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = −18,55 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estymator punktowy

x̄₁ − x̄₂ = 56,5 − 71 = −14,5

Błąd standardowy

SE = √(18²/80 + 11²/60) = 2,463

Margines błędu

E = 1,645·2,463 = 4,052

Przedział

−14,5 ± 4,052 → [−18,55, −10,45]

Odpowiedź

dolna granica = −18,55 h

Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 827

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = (1,96·22/1,5)² = 826,4

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 827

Odpowiedź

n = 827

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,695

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (4·3² + 6·8,5²)/10 = 46,95

s_p = 6,852

Błąd standardowy

SE = 6,852·√(1/5 + 1/7) = 4,012

Statystyka testowa

t = (113 − 119,8)/4,012 = −1,695

Odpowiedź

t = −1,695

Przy df = 10 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,228; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: U = 500,4

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Margines błędu

E = 1,645·4/√36 = 1,097

Granica przedziału

U = 499,3 + 1,097 = 500,4

Odpowiedź

U = 500,4

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,694

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Sumy scentrowane

S_xy = 2110 − 33·378/6 = 31

S_xx = 199 − 33²/6 = 17,5

S_yy = 23928 − 378²/6 = 114

Współczynnik korelacji

r = 31/√(17,5·114) = 0,694

Odpowiedź

r = 0,694

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 21,68

Średnie

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 689/6 = 114,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 994,5

Prosta regresji

b = 994,5/157,5 = 6,314

a = 114,8 − 6,314·21,5 = −20,92

ŷ = −20,92 + 6,314·x

Wyznacz x

x = (116 − (−20,92))/6,314 = 21,68

Odpowiedź

x = 21,68

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 3,663

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

nowy lek: 40·56/160 = 14, 40·104/160 = 26

placebo: 120·56/160 = 42, 120·104/160 = 78

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (9 − 14)²/14 + (31 − 26)²/26 + (47 − 42)²/42 + (73 − 78)²/78

χ² = 3,663

Odpowiedź

χ² = 3,663

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 5

Stopnie swobody

df = 7 − 1 − 1 = 5

Odpowiedź

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology