Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
Testy chi-kwadrat
- Statystyka testowa
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Test zgodności
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Niezależność
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Wartości krytyczne (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Decyzja
- odrzuć H0, jeśli χ² > χ²crit
2Zadania do ćwiczenia
1.Metody badawcze w psychologiiŚredni
Obciążenie ze strony eksperymentatora najbardziej bezpośrednio zmniejsza:
- AZbieranie danych przez badacza, który nie zna hipotezy ani warunków
- BZwiększenie liczebności próby
- CKorzystanie wyłącznie z ochotników
- DZastosowanie hipotezy jednostronnej
2.Metody badawcze w psychologiiTrudny
Badacz wykorzystuje kwestionariusz, wywiady i obserwację do badania stresu w miejscu pracy, a wyniki są zgodne. Jak nazywa się to podejście?
- ARównoważenie kolejności
- BTriangulacja
- CReplikacja
- DWarstwowanie
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 44, 32, 23, 26, 19, 48, 41.
n = 7
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 12. Wyznacz wynik z z dla wyniku 74.
μ = 50σ = 12x = 74
z =
5.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 4 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 4
P =
6.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 8 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,4, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 1 poprawnych odpowiedzi?
n = 8p = 0,4k = 1
P =
7.Rozkład normalnyŚredni
X ma rozkład normalny ze średnią 12 min i odchyleniem standardowym 1,5 min; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 20 min i odchyleniem standardowym 2 min. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 29,5 min. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 29,5 min
P =
8.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 80% wszystkich wartości (80. percentyl).
μ = 250σ = 5P = 80%
x = g
9.Przedziały ufnościŚredni
Porównuje się czas pracy baterii dwóch modeli telefonów. Model 1: 30 telefonów, średnia 58 h, znane odchylenie standardowe 16 h. Model 2: 40 telefonów, średnia 65 h, znane odchylenie standardowe 19 h. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90 % dla μ₁ − μ₂.
n₁ = 30x̄₁ = 58 hσ₁ = 16 hn₂ = 40x̄₂ = 65 hσ₂ = 19 h90%
E = h
10.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 18. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 90% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?
σ = 18E = 290%
n =
11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 100 studentów ma średni wynik 197,8 i odchylenie standardowe z próby 10. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 197,8s = 10n = 100
t =
12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 64 pomiarów ma średnią 498. Odchylenie standardowe populacji wynosi 8. Wyznacz górną granicę U przedziału ufności 90 % dla średniej.
x̄ = 498σ = 8n = 6490%
U =
13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5Σx = 20Σy = 235Σx² = 90Σy² = 11099Σxy = 961
r =
14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (5,5, 55). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 6(5,5, 55)
e =
15.Testy chi-kwadratŚredni
Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.
N = 1602 × 3
χ² =
16.Testy chi-kwadratTrudny
Test zgodności chi-kwadrat porównuje liczebności obserwowane w 7 kategoriach z w pełni określonymi oczekiwanymi udziałami (żadne parametry nie są estymowane z danych). Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²crit na poziomie istotności α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3Roztwory
1.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: A · Zbieranie danych przez badacza, który nie zna hipotezy ani warunków
Dlaczego to jest odpowiedź
Eksperymentatorzy znający hipotezę mogą nieświadomie wpływać na uczestników lub zapis wyników. Ogranicza to procedura pojedynczo lub podwójnie ślepa oraz standaryzowane instrukcje.
Odpowiedź
A · Zbieranie danych przez badacza, który nie zna hipotezy ani warunków
2.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: B · Triangulacja
Dlaczego to jest odpowiedź
Triangulacja wykorzystuje wiele metod, źródeł lub badaczy. Zgodność między nimi zwiększa zaufanie do trafności wyników.
Odpowiedź
B · Triangulacja
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 11,22
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 233/7 = 33,29
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 10,71² + (−1,286)² + (−10,29)² + (−7,286)² + (−14,29)² + 14,71² + 7,714² = 755,4
Odchylenie standardowe
s = √(755,4/6) = 11,22
Odpowiedź
s = 11,22
4.Statystyka opisowa
Odpowiedź: z = 2
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (74 − 50)/12 = 2
Odpowiedź
z = 2
5.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,5177
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Odpowiedź
P = 0,5177
6.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,08958
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Wzór dwumianowy
P(X = 1) = 8·0,41·0,67 = 8·0,4·0,02799 = 0,08958
Odpowiedź
P = 0,08958
7.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,8413
Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μX ± μY. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σX² + σY², więc σ = √(σX² + σY²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).
Rozkład sumy
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Standaryzuj
z = (29,5 − 32)/2,5 = −1
Górny ogon
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413
Odpowiedź
P = 0,8413
8.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 254,2 g
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Powrót do x
x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g
Odpowiedź
x = 254,21 g
9.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 6,893 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estymator punktowy
x̄₁ − x̄₂ = 58 − 65 = −7
Błąd standardowy
SE = √(16²/30 + 19²/40) = 4,19
Margines błędu
E = 1,645·4,19 = 6,893
Odpowiedź
E = 6,893 h
Przedział nie zawiera 0, więc średnie różnią się istotnie.
10.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 220
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,645·18/2)² = 219,2
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 220
Odpowiedź
n = 220
11.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = −2,2
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 10/√100 = 10/10 = 1
Statystyka testowa
t = (197,8 − 200)/1 = −2,2
Odpowiedź
t = −2,2
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
12.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: U = 499,6
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 1,645·8/√64 = 1,645
Granica przedziału
U = 498 + 1,645 = 499,6
Odpowiedź
U = 499,6
13.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9037
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 961 − 20·235/5 = 21
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 11099 − 235²/5 = 54
Współczynnik korelacji
r = 21/√(10·54) = 0,9037
Odpowiedź
r = 0,9037
14.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = 3,876
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 280/6 = 46,67
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 39
Prosta regresji
b = 39/17,5 = 2,229
a = 46,67 − 2,229·3,5 = 38,87
ŷ = 38,87 + 2,229·x
Wartość przewidywana
ŷ = 38,87 + 2,229·5,5 = 51,12
Reszta
e = 55 − 51,12 = 3,876
Odpowiedź
e = 3,876
Punkt leży nad prostą.
15.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: χ² = 2,8
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Liczebności oczekiwane
miasto: 80·32/160 = 16, 80·48/160 = 24, 80·80/160 = 40
wieś: 80·32/160 = 16, 80·48/160 = 24, 80·80/160 = 40
Statystyka chi-kwadrat
χ² = (20 − 16)²/16 + (21 − 24)²/24 + (39 − 40)²/40 + (12 − 16)²/16 + (27 − 24)²/24 + (41 − 40)²/40
χ² = 2,8
Odpowiedź
χ² = 2,8
df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.
16.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: χ²crit = 16,81
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Stopnie swobody
df = 7 − 1 = 6
Tabela
χ²crit(df = 6, α = 0,01) = 16,812
Odpowiedź
χ²crit = 16,812
Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology