Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
Testy chi-kwadrat
- Statystyka testowa
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Test zgodności
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Niezależność
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Wartości krytyczne (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Decyzja
- odrzuć H0, jeśli χ² > χ²crit
2Zadania do ćwiczenia
1.Metody badawcze w psychologiiŚredni
Jakie dane uzyskuje się, zadając w wywiadzie pytanie otwarte?
- ADane ilorazowe
- BDane jakościowe
- CDane przedziałowe
- DWyłącznie ilościowe dane nominalne
2.Metody badawcze w psychologiiTrudny
Uczestnik przyjmuje lek albo tabletkę cukrową, ale nie wie, którą, a badacz wie. Jaki to schemat i jakie obciążenie nadal jest możliwe?
- APojedynczo ślepy; charakterystyki żądań są niemożliwe
- BBadanie otwarte; efekty placebo są w pełni kontrolowane
- CPojedynczo ślepy; nadal możliwe jest obciążenie ze strony eksperymentatora
- DPodwójnie ślepy; żadne obciążenie nie jest możliwe
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 56, 18, 20, 59, 29, 32, 12.
n = 7
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 50. Jaka część P wartości leży poniżej 450?
μ = 500σ = 50x = 450
P =
5.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 2 osób z grupy 11 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 11k = 2
N =
6.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 9 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 9p = 0,1
P =
7.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 55,5 a 77 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 65σ = 10x1 = 55,5x2 = 77
P =
8.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 20% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 100 pktσ = 15 pkt20%
x = pkt
9.Przedziały ufnościŚredni
Próba 20 elementów ma średnią 26,5 i odchylenie standardowe s = 1,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.
n = 20x̄ = 26,5s = 1,595%t(19) = 2,093
górna granica =
10.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 33. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 3?
σ = 33E = 395%
n =
11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Dwie linie produkcyjne wytwarzają tę samą część. Linia 1: próba 80 części ma średnią długość 73,5 mm, a znane odchylenie standardowe linii wynosi 3 mm. Linia 2: próba 100 części ma średnią 72,2 mm, znane odchylenie standardowe 11 mm. Wyznacz statystykę testową z dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (linia 1 minus linia 2).
n₁ = 80x̄₁ = 73,5 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 100x̄₂ = 72,2 mmσ₂ = 11 mm
z =
12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 5 jednostek z mocą 80 %. Odchylenie standardowe wynosi 23. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,05moc = 80%δ = 5σ = 23zα = 1,645zβ = 0,842
n =
13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Podane są ich sumy. Wyznacz z tych sum współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5Σx = 105Σy = 540Σx² = 2295Σy² = 61466Σxy = 11871
r =
14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (1,5, 24). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 6(1,5, 24)
e =
15.Testy chi-kwadratŚredni
Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „wieś, wysoki”.
suma wiersza = 63suma kolumny = 63N = 151
E =
16.Testy chi-kwadratTrudny
Test zgodności chi-kwadrat sprawdza, czy liczebności w 8 kategoriach mają rozkład Poissona, którego średnią estymuje się z tych samych danych. Ile stopni swobody df ma test?
k = 8
df =
3Roztwory
1.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: B · Dane jakościowe
Dlaczego to jest odpowiedź
Pytania otwarte dają bogate dane jakościowe, trudniejsze do analizy statystycznej niż odpowiedzi na pytania zamknięte.
Odpowiedź
B · Dane jakościowe
2.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: C · Pojedynczo ślepy; nadal możliwe jest obciążenie ze strony eksperymentatora
Dlaczego to jest odpowiedź
W schemacie pojedynczo ślepym uczestnicy nie znają swojego warunku, co kontroluje oczekiwania związane z placebo. Wiedza badacza nadal może wpływać na wyniki, dlatego preferuje się schematy podwójnie ślepe.
Odpowiedź
C · Pojedynczo ślepy; nadal możliwe jest obciążenie ze strony eksperymentatora
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 18,5
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 226/7 = 32,29
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 23,71² + (−14,29)² + (−12,29)² + 26,71² + (−3,286)² + (−0,2857)² + (−20,29)² = 2053
Odchylenie standardowe
s = √(2053/6) = 18,5
Odpowiedź
s = 18,5
4.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,1587
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = −1
Tablica rozkładu normalnego
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Odpowiedź
P = 0,1587
5.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 55
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55
Odpowiedź
N = 55
6.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,7748
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,99 = 0,3874
P(X = 1) = 9·0,1·0,98 = 0,3874
Dodaj
P = 0,3874 + 0,3874 = 0,7748
Odpowiedź
P = 0,7748
7.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,7139
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (55,5 − 65)/10 = −0,95
z₂ = (77 − 65)/10 = 1,2
Pole pomiędzy
P = Φ(1,2) − Φ(−0,95) = 0,8849 − 0,1711 = 0,7139
Odpowiedź
P = 0,7139
8.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 112,6 pkt
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,8
z z tablicy
z ≈ 0,84
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 100 + 0,84·15 = 112,6 pkt
Odpowiedź
x = 112,6 pkt
9.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = 27,2
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Margines błędu
E = 2,093·1,5/√20 = 0,702
Przedział
26,5 ± 0,702 → [25,8, 27,2]
Odpowiedź
górna granica = 27,2
10.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 465
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,96·33/3)² = 464,8
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 465
Odpowiedź
n = 465
11.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 1,13
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Błąd standardowy różnicy
SE = √(3²/80 + 11²/100) = √1,322 = 1,15
Statystyka testowa
z = (73,5 − 72,2)/1,15 = 1,13
Odpowiedź
z = 1,13
|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
12.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 131
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = ((1,645 + 0,842)·23/5)² = 130,9
Zaokrąglij w górę
n = 131
Odpowiedź
n = 131
13.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9979
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Sumy scentrowane
Sxy = 11871 − 105·540/5 = 531
Sxx = 2295 − 105²/5 = 90
Syy = 61466 − 540²/5 = 3146
Współczynnik korelacji
r = 531/√(90·3146) = 0,9979
Odpowiedź
r = 0,9979
14.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = 2,31
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 101/6 = 16,83
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −42,5
Prosta regresji
b = −42,5/17,5 = −2,429
a = 16,83 − (−2,429)·3,5 = 25,33
ŷ = 25,33 − 2,429·x
Wartość przewidywana
ŷ = 25,33 + (−2,429)·1,5 = 21,69
Reszta
e = 24 − 21,69 = 2,31
Odpowiedź
e = 2,31
Punkt leży nad prostą.
15.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: E = 26,28
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Liczebność oczekiwana
E = 63·63/151 = 26,28
Odpowiedź
E = 26,28
16.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: df = 6
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Stopnie swobody
df = 8 − 1 − 1 = 6
Odpowiedź
df = 6
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology