Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
Testy chi-kwadrat
- Statystyka testowa
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Test zgodności
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Niezależność
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Wartości krytyczne (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Decyzja
- odrzuć H0, jeśli χ² > χ²crit
2Zadania do ćwiczenia
1.Metody badawcze w psychologiiŚredni
Student uzyskuje 130 punktów w teście o średniej 100 i odchyleniu standardowym 15. Jaki jest jego wynik z?
- A1,5
- B0,5
- C3,0
- D2,0
2.Metody badawcze w psychologiiTrudny
Badanie pokazuje, że kwestionariusz silnie koreluje z uznanym testem tego samego konstruktu. To wspiera:
- ATrafność ekologiczną
- BTrafność diagnostyczną (równoczesną)
- CRzetelność test-retest
- DTrafność fasadową
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 54, 26, 36, 37, 46.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 12. Jaka część P wartości leży poniżej 115?
μ = 100σ = 12x = 115
P =
5.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 4 osób z grupy 12 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 12k = 4
N =
6.PrawdopodobieństwoTrudny
Test ma 10 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,5, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 2 poprawnych odpowiedzi?
n = 10p = 0,5k = 2
P =
7.Rozkład normalnyŚredni
Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole między −z a z pod standardową krzywą normalną wynosiło 0,9051. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
A = 0,9051
z =
8.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 90% wszystkich wartości (90. percentyl).
μ = 100σ = 15P = 90%
x = pkt
9.Przedziały ufnościŚredni
Próba 8 elementów ma średnią 96 i odchylenie standardowe s = 5,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99% dla średniej.
n = 8x̄ = 96s = 5,599%t(7) = 3,499
E =
10.Przedziały ufnościTrudny
Odchylenie standardowe populacji wynosi 38. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 95% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2?
σ = 38E = 295%
n =
11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 100; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 24. Losowa próba 36 obserwacji ma średnią 109,6. Przetestuj H₀: μ = 100 przeciw H₁: μ > 100. Wyznacz wartość p p.
μ₀ = 100σ = 24n = 36x̄ = 109,6H₁: μ > μ₀
p =
12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Próba 64 pomiarów ma średnią 200,6. Odchylenie standardowe populacji wynosi 4. Wyznacz dolną granicę L przedziału ufności 99 % dla średniej.
x̄ = 200,6σ = 4n = 6499%
L =
13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5
r =
14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (4,5, 23). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 5(4,5, 23)
e =
15.Testy chi-kwadratŚredni
Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „pracownicy, autobus”.
suma wiersza = 90suma kolumny = 44N = 167
E =
16.Testy chi-kwadratTrudny
Test zgodności chi-kwadrat porównuje liczebności obserwowane w 10 kategoriach z w pełni określonymi oczekiwanymi udziałami (żadne parametry nie są estymowane z danych). Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²crit na poziomie istotności α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3Roztwory
1.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: D · 2,0
Dlaczego to jest odpowiedź
(130 − 100) / 15 = 2. Wynik leży dwa odchylenia standardowe powyżej średniej, wyżej niż u około 97–98% ludzi.
Odpowiedź
D · 2,0
2.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: B · Trafność diagnostyczną (równoczesną)
Dlaczego to jest odpowiedź
Trafność równoczesną wykazuje się, gdy nowe narzędzie zgadza się z uznanym narzędziem zastosowanym mniej więcej w tym samym czasie.
Odpowiedź
B · Trafność diagnostyczną (równoczesną)
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 10,64
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 199/5 = 39,8
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 14,2² + (−13,8)² + (−3,8)² + (−2,8)² + 6,2² = 452,8
Odchylenie standardowe
s = √(452,8/4) = 10,64
Odpowiedź
s = 10,64
4.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,8944
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 1,25
Tablica rozkładu normalnego
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Odpowiedź
P = 0,8944
5.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 495
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(12, 4) = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495
Odpowiedź
N = 495
6.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,04395
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Wzór dwumianowy
P(X = 2) = 45·0,52·0,58 = 45·0,25·0,003906 = 0,04395
Odpowiedź
P = 0,04395
7.Rozkład normalny
Odpowiedź: z = 1,67
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole na lewo od z
Φ(z) = (1 + 0,9051)/2 = 0,9525
Czytaj tablicę z wstecz
Znajdź 0,9525 wewnątrz tablicy i odczytaj z.
z = 1,67
Odpowiedź
z = 1,67
8.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 119,2 pkt
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Powrót do x
x = 100 + 1,282·15 = 119,22 pkt
Odpowiedź
x = 119,22 pkt
9.Przedziały ufności
Odpowiedź: E = 6,804
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 7, t = 3,499
Margines błędu
E = 3,499·5,5/√8 = 6,804
Odpowiedź
E = 6,804
10.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 1387
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = (1,96·38/2)² = 1387
Zaokrąglij w górę
Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.
n = 1387
Odpowiedź
n = 1387
11.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: p = 0,008198
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statystyka testowa
SE = σ/√n = 24/√36 = 4
z = (109,6 − 100)/4 = 2,4
Pole ogona
Φ(2,4) = 0,9918
1 − Φ(2,4) = 0,0082
Wartość p
p = 0,008198
Odpowiedź
p = 0,008198
p ≤ 0,05, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 %.
12.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: L = 199,3
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Margines błędu
E = 2,576·4/√64 = 1,288
Granica przedziału
L = 200,6 − 1,288 = 199,3
Odpowiedź
L = 199,3
13.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9819
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 563/5 = 112,6
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 224
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1301
Współczynnik korelacji
r = 224/√(40·1301) = 0,9819
Odpowiedź
r = 0,9819
14.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = 4,3
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 107/5 = 21,4
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18
Prosta regresji
b = −18/10 = −1,8
a = 21,4 − (−1,8)·3 = 26,8
ŷ = 26,8 − 1,8·x
Wartość przewidywana
ŷ = 26,8 + (−1,8)·4,5 = 18,7
Reszta
e = 23 − 18,7 = 4,3
Odpowiedź
e = 4,3
Punkt leży nad prostą.
15.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: E = 23,71
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Liczebność oczekiwana
E = 90·44/167 = 23,71
Odpowiedź
E = 23,71
16.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: χ²crit = 21,67
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Stopnie swobody
df = 10 − 1 = 9
Tabela
χ²crit(df = 9, α = 0,01) = 21,666
Odpowiedź
χ²crit = 21,666
Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology