Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Który test porównuje dwie niezależne grupy, gdy dane są porządkowe lub wyraźnie odbiegają od rozkładu normalnego?

ATest chi-kwadrat
BTest znaków rangowanych Wilcoxona
CTest U Manna–Whitneya
DTest t dla prób niezależnych

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Badacz chce wykazać, że nowa skala lęku mierzy coś innego niż depresja. Niskie korelacje ze skalą depresji wspierałyby trafność:

AZbieżną
BFasadową
CRóżnicową
DPrognostyczną

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 16, 16, 38, 38, 47, 60.

n = 6

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 60. Wyznacz wynik z z dla wyniku 620.

μ = 500σ = 60x = 620

z =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 5

P =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = −2X + 10. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,2, 0,35, 0,1Y = −2X + 10

σ_Y =

7.Rozkład normalnyŚredni

Masy worków cementu są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 kg i odchyleniem standardowym 0,5 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 5 z nich przekroczy 126,1 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 5> 126,1 kg

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów dostawy jest normalny ze średnią 32 min i odchyleniem standardowym 6 min. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 97,5% wszystkich wartości (97,5. percentyl).

μ = 32σ = 6P = 97,5%

x = min

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 6 elementów ma średnią 34,5 i odchylenie standardowe s = 20. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 6x̄ = 34,5s = 2099%t(5) = 4,032

dolna granica =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 40. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5?

σ = 40E = 2,599%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

12 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 0,79, a odchylenie standardowe różnic 1,7. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μ_d = 0.

n = 12d̄ = 0,79s_d = 1,7

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z na poziomie α = 0,05 ma wykryć przesunięcie średniej o 5 jednostek z mocą 95 %. Odchylenie standardowe wynosi 21. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,05moc = 95%δ = 5σ = 21z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 83?

n = 6ŷ = 83

x =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1402 × 3

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test niezależności chi-kwadrat przeprowadza się na tabeli kontyngencji o 3 wierszach i 3 kolumnach (bez sum). Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²_crit na poziomie istotności α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: C · Test U Manna–Whitneya

Dlaczego to jest odpowiedź

Test U Manna–Whitneya porównuje rangi między dwiema niepowiązanymi grupami. Test znaków rangowanych Wilcoxona jest przeznaczony dla prób zależnych.

Odpowiedź

C · Test U Manna–Whitneya

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: C · Różnicową

Dlaczego to jest odpowiedź

Trafność różnicową (dywergencyjną) wykazuje się, gdy miara słabo koreluje z miarami innych konstruktów. Trafność zbieżna to wysoka korelacja z miarami tego samego konstruktu.

Odpowiedź

C · Różnicową

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 17,35

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 215/6 = 35,83

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−19,83)² + (−19,83)² + 2,167² + 2,167² + 11,17² + 24,17² = 1505

Odchylenie standardowe

s = √(1505/5) = 17,35

Odpowiedź

s = 17,35

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 2

Standaryzuj

z = (620 − 500)/60 = 2

Odpowiedź

z = 2

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,5981

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Odpowiedź

P = 0,5981

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 2,059

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Rozrzut X

μ = 2,2, Var(X) = 1,06, σ_X = 1,03

Zmiana liniowa

σ_Y = |−2|·1,03 = 2,059

Odpowiedź

σ_Y = 2,059

Średnia się przesuwa: E(Y) = −2·2,2 + 10 = 5,6.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,1635

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 125 kg, σ_T = 0,5·√5 = 1,118 kg

Standaryzuj

z = (126,1 − 125)/1,118 = 0,98

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(0,98) = 0,1635

Odpowiedź

P = 0,1635

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 43,76 min

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

z dla percentyla

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Powrót do x

x = 32 + 1,96·6 = 43,76 min

Odpowiedź

x = 43,76 min

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 1,579

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Margines błędu

E = 4,032·20/√6 = 32,92

Przedział

34,5 ± 32,92 → [1,579, 67,42]

Odpowiedź

dolna granica = 1,579

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1699

Wyznacz n

n = (2,576·40/2,5)² = 1699

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 1699

Odpowiedź

n = 1699

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,61

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Błąd standardowy średniej różnicy

SE = 1,7/√12 = 0,4907

Statystyka testowa

t = 0,79/0,4907 = 1,61

Odpowiedź

t = 1,61

Przy df = 11 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,201; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 191

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((1,645 + 1,645)·21/5)² = 190,9

Zaokrąglij w górę

n = 191

Odpowiedź

n = 191

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = −0,9785

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 105/5 = 21

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 94

Współczynnik korelacji

r = −30/√(10·94) = −0,9785

Odpowiedź

r = −0,9785

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 18,07

Średnie

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 557/6 = 92,83

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 357

Prosta regresji

b = 357/70 = 5,1

a = 92,83 − 5,1·20 = −9,167

ŷ = −9,167 + 5,1·x

Wyznacz x

x = (83 − (−9,167))/5,1 = 18,07

Odpowiedź

x = 18,07

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 4,676

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

miasto: 60·28/140 = 12, 60·42/140 = 18, 60·70/140 = 30

wieś: 80·28/140 = 16, 80·42/140 = 24, 80·70/140 = 40

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (11 − 12)²/12 + (13 − 18)²/18 + (36 − 30)²/30 + (17 − 16)²/16 + (29 − 24)²/24 + (34 − 40)²/40

χ² = 4,676

Odpowiedź

χ² = 4,676

df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ²_crit = 9,488

Stopnie swobody

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

Tabela

χ²_crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488

Odpowiedź

χ²_crit = 9,488

Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology