Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
Testy chi-kwadrat
- Statystyka testowa
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Test zgodności
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Niezależność
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Wartości krytyczne (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Decyzja
- odrzuć H0, jeśli χ² > χ²crit
2Zadania do ćwiczenia
1.Metody badawcze w psychologiiŚredni
Który test nadaje się do porównania średnich dwóch niezależnych grup z danymi przedziałowymi o rozkładzie zbliżonym do normalnego?
- ATest Wilcoxona dla par obserwacji
- BTest chi-kwadrat
- CKorelacja Pearsona
- DTest t dla prób niezależnych
2.Metody badawcze w psychologiiTrudny
Badacz zbiera dane w dziewięciu punktach czasowych i za każdym razem testuje na poziomie 5% bez korekty. Na czym polega problem?
- APrawdopodobieństwo co najmniej jednego fałszywie pozytywnego wyniku rośnie znacznie powyżej 5%
- BWielkość efektu spada z każdym testem
- CTakie podejście nie stanowi problemu
- DDane z każdym razem stają się rzetelniejsze, więc ostatni test jest najdokładniejszy
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 58, 27, 42, 40, 56.
n = 5
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 170 i odchyleniem standardowym 12. Wyznacz wynik z z dla wyniku 194.
μ = 170σ = 12x = 194
z =
5.PrawdopodobieństwoŚredni
Uczciwą kostką rzucamy 6 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?
n = 6
P =
6.PrawdopodobieństwoTrudny
Gra kosztuje €5. Wygrywasz €10 z prawdopodobieństwem 0,2 i €50 z prawdopodobieństwem 0,05; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.
stawka = €5€10: p = 0,2€50: p = 0,05
E(G) = €
7.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Jaka część wartości leży między 57,5 a 73,5 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 65σ = 10x1 = 57,5x2 = 73,5
P =
8.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 99% wszystkich wartości (99. percentyl).
μ = 500σ = 40P = 99%
x = h
9.Przedziały ufnościŚredni
Próba 16 elementów ma średnią 15 i odchylenie standardowe s = 7. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.
n = 16x̄ = 15s = 790%t(15) = 1,753
dolna granica =
10.Przedziały ufnościTrudny
Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 9 poletek, średni plon 55,5 kg, odchylenie standardowe 2,5 kg. Grupa poletek 2: 7 poletek, średnia 66,5 kg, odchylenie standardowe 1 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz górną granicę przedziału ufności 95 % dla μ₁ − μ₂.
n₁ = 9x̄₁ = 55,5s₁ = 2,5n₂ = 7x̄₂ = 66,5s₂ = 195%t(14) = 2,145
górna granica = kg
11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Próba 100 studentów ma średni wynik 51,44 i odchylenie standardowe z próby 12. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 51,44s = 12n = 100
t =
12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
W badaniu klinicznym wyzdrowiało 32 z 80 pacjentów leczonych metodą A i 31 z 120 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 32n₁ = 80x₂ = 31n₂ = 120
z =
13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5
r =
14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (3, 13). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.
n = 6(3, 13)
e =
15.Testy chi-kwadratŚredni
Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „wieś, średni”.
suma wiersza = 66suma kolumny = 39N = 170
E =
16.Testy chi-kwadratTrudny
Test niezależności chi-kwadrat przeprowadza się na tabeli kontyngencji o 3 wierszach i 6 kolumnach (bez sum). Ile stopni swobody df ma test?
3 × 6
df =
3Roztwory
1.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: D · Test t dla prób niezależnych
Dlaczego to jest odpowiedź
Test t dla prób niezależnych porównuje dwie średnie grupowe. Chi-kwadrat jest dla liczebności; Wilcoxon dla prób zależnych z danymi nieparametrycznymi.
Odpowiedź
D · Test t dla prób niezależnych
2.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: A · Prawdopodobieństwo co najmniej jednego fałszywie pozytywnego wyniku rośnie znacznie powyżej 5%
Dlaczego to jest odpowiedź
Przy dziewięciu niezależnych testach prawdopodobieństwo co najmniej jednego błędu I rodzaju wynosi około 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. Rozwiązaniem są korekty, np. Bonferroniego.
Odpowiedź
A · Prawdopodobieństwo co najmniej jednego fałszywie pozytywnego wyniku rośnie znacznie powyżej 5%
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 12,72
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 223/5 = 44,6
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = 13,4² + (−17,6)² + (−2,6)² + (−4,6)² + 11,4² = 647,2
Odchylenie standardowe
s = √(647,2/4) = 12,72
Odpowiedź
s = 12,72
4.Statystyka opisowa
Odpowiedź: z = 2
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = (194 − 170)/12 = 2
Odpowiedź
z = 2
5.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,6651
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zdarzenie przeciwne
P(brak szóstki) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Odpowiedź
P = 0,6651
6.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: E(G) = −0,5 €
Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σY = |a|·σX; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.
Wyniki netto
G: 5 (p = 0,2), 45 (p = 0,05), −5 (p = 0,75)
Wartość oczekiwana
E(G) = 5·0,2 + 45·0,05 − 5·0,75 = −0,5 €
Odpowiedź
E(G) = −0,5 €
Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.
7.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,5757
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (57,5 − 65)/10 = −0,75
z₂ = (73,5 − 65)/10 = 0,85
Pole pomiędzy
P = Φ(0,85) − Φ(−0,75) = 0,8023 − 0,2266 = 0,5757
Odpowiedź
P = 0,5757
8.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 593,1 h
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
z dla percentyla
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Powrót do x
x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h
Odpowiedź
x = 593,05 h
9.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = 11,93
Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.
Wartość krytyczna
df = n − 1 = 15, t = 1,753
Margines błędu
E = 1,753·7/√16 = 3,068
Przedział
15 ± 3,068 → [11,93, 18,07]
Odpowiedź
dolna granica = 11,93
10.Przedziały ufności
Odpowiedź: górna granica = −8,838 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Łączne odchylenie standardowe
sp² = (8·2,5² + 6·1²)/14 = 4
sp = 2
Margines błędu
E = 2,145·2·√(1/9 + 1/7) = 2,162
Przedział
−11 ± 2,162 → [−13,16, −8,838]
Odpowiedź
górna granica = −8,838 kg
11.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: t = 1,2
Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).
Błąd standardowy
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
Statystyka testowa
t = (51,44 − 50)/1,2 = 1,2
Odpowiedź
t = 1,2
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).
12.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: z = 2,113
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Frakcje z prób
p̂₁ = 32/80 = 0,4
p̂₂ = 31/120 = 0,2583
p̂ = 63/200 = 0,315
Błąd standardowy przy H₀
SE = √(0,315·0,685·(1/80 + 1/120)) = 0,06705
Statystyka testowa
z = (0,4 − 0,2583)/0,06705 = 2,113
Odpowiedź
z = 2,113
|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).
13.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = −0,9878
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 92/5 = 18,4
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21
Syy = Σ(y − ȳ)² = 45,2
Współczynnik korelacji
r = −21/√(10·45,2) = −0,9878
Odpowiedź
r = −0,9878
14.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: e = 4,667
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 98/6 = 16,33
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140
Prosta regresji
b = 140/70 = 2
a = 16,33 − 2·7 = 2,333
ŷ = 2,333 + 2·x
Wartość przewidywana
ŷ = 2,333 + 2·3 = 8,333
Reszta
e = 13 − 8,333 = 4,667
Odpowiedź
e = 4,667
Punkt leży nad prostą.
15.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: E = 15,14
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Liczebność oczekiwana
E = 66·39/170 = 15,14
Odpowiedź
E = 15,14
16.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: df = 10
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Stopnie swobody
df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10
Odpowiedź
df = 10
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology