Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Trafność wewnętrzna dotyczy tego:

ACzy test daje te same wyniki w czasie
BCzy obserwowany efekt rzeczywiście spowodowała ZN, a nie inne czynniki
CCzy wyniki dają się uogólnić poza badanie na inne populacje, sytuacje i czasy
DCzy uczestnicy uznali badanie za ciekawe

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

„Kryzys replikacyjny" w psychologii oznacza:

APrawny obowiązek odrzucania przez czasopisma wszystkich nadsyłanych badań replikacyjnych
BŻe wiele opublikowanych wyników nie powtarza się w nowych badaniach
CKopiowanie kwestionariuszy bez zgody
DBrak uczestników do eksperymentów

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 30, 17, 27, 20, 40.

n = 5

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 500 i odchyleniem standardowym 75. Jaka część P wartości leży poniżej 530?

μ = 500σ = 75x = 530

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 4 kul czerwonych i 8 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

4 / 8

P =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €10. Wygrywasz €20 z prawdopodobieństwem 0,2 i €100 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €10€20: p = 0,2€100: p = 0,01

E(G) = €

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład mas worków jest normalny ze średnią 250 g i odchyleniem standardowym 5 g. Jaka część wartości leży między 250 a 254 g? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 250σ = 5x₁ = 250x₂ = 254

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 95% wszystkich wartości (95. percentyl).

μ = 100σ = 15P = 95%

x = pkt

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 7 elementów ma średnią 32 i odchylenie standardowe s = 4,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95% dla średniej.

n = 7x̄ = 32s = 4,595%t(6) = 2,447

dolna granica =

10.Przedziały ufnościTrudny

Z góry nic nie wiadomo o frakcji wadliwych produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 99 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,03?

p = 0,5E = 0,0399%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 49 studentów ma średni wynik 197,4 i odchylenie standardowe z próby 20. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 197,4s = 20n = 49

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 20 z 80 pacjentów leczonych metodą A i 73 z 250 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 20n₁ = 80x₂ = 73n₂ = 250

z =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 5

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wydatki na reklamę w tys. € i y = sprzedaż w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wykonano nową obserwację (4,5, 46). Wyznacz jej resztę e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 46)

e =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 2402 × 2

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test niezależności chi-kwadrat przeprowadza się na tabeli kontyngencji o 3 wierszach i 3 kolumnach (bez sum). Ile stopni swobody df ma test?

3 × 3

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Czy obserwowany efekt rzeczywiście spowodowała ZN, a nie inne czynniki

Dlaczego to jest odpowiedź

Wysoka trafność wewnętrzna oznacza, że wykluczono alternatywne wyjaśnienia, takie jak czynniki zakłócające, charakterystyki żądań czy obciążenie eksperymentatora. Trafność zewnętrzna dotyczy uogólniania.

Odpowiedź

B · Czy obserwowany efekt rzeczywiście spowodowała ZN, a nie inne czynniki

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Że wiele opublikowanych wyników nie powtarza się w nowych badaniach

Dlaczego to jest odpowiedź

Duże projekty replikacyjne wykazały, że wiele efektów jest mniejszych lub nie występuje, co wiąże się z błędem publikacyjnym, małymi próbami i elastyczną analizą. Jedną z odpowiedzi jest prerejestracja.

Odpowiedź

B · Że wiele opublikowanych wyników nie powtarza się w nowych badaniach

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 9,039

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 134/5 = 26,8

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 3,2² + (−9,8)² + 0,2² + (−6,8)² + 13,2² = 326,8

Odchylenie standardowe

s = √(326,8/4) = 9,039

Odpowiedź

s = 9,039

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,6554

Standaryzuj

z = 0,4

Tablica rozkładu normalnego

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Odpowiedź

P = 0,6554

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,09091

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 4/12 · 3/11 = 12/132 = 0,09091

Odpowiedź

P = 0,09091

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = −5 €

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Wyniki netto

G: 10 (p = 0,2), 90 (p = 0,01), −10 (p = 0,79)

Wartość oczekiwana

E(G) = 10·0,2 + 90·0,01 − 10·0,79 = −5 €

Odpowiedź

E(G) = −5 €

Wartość ujemna oznacza, że średnio tracisz pieniądze.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,2881

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (250 − 250)/5 = 0

z₂ = (254 − 250)/5 = 0,8

Pole pomiędzy

P = Φ(0,8) − Φ(0) = 0,7881 − 0,5 = 0,2881

Odpowiedź

P = 0,2881

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 124,7 pkt

z dla percentyla

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Powrót do x

x = 100 + 1,645·15 = 124,67 pkt

Odpowiedź

x = 124,67 pkt

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 27,84

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Margines błędu

E = 2,447·4,5/√7 = 4,162

Przedział

32 ± 4,162 → [27,84, 36,16]

Odpowiedź

dolna granica = 27,84

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1844

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Wyznacz n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,03² = 1843

Zaokrąglij w górę

n = 1844

Odpowiedź

n = 1844

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −0,91

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 20/√49 = 20/7 = 2,857

Statystyka testowa

t = (197,4 − 200)/2,857 = −0,91

Odpowiedź

t = −0,91

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −0,7268

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Frakcje z prób

p̂₁ = 20/80 = 0,25

p̂₂ = 73/250 = 0,292

p̂ = 93/330 = 0,2818

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,2818·0,7182·(1/80 + 1/250)) = 0,05779

Statystyka testowa

z = (0,25 − 0,292)/0,05779 = −0,7268

Odpowiedź

z = −0,7268

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,8741

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 300/5 = 60

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 242

Współczynnik korelacji

r = 43/√(10·242) = 0,8741

Odpowiedź

r = 0,8741

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: e = 1,55

Średnie

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 217/5 = 43,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 21

Prosta regresji

b = 21/10 = 2,1

a = 43,4 − 2,1·4 = 35

ŷ = 35 + 2,1·x

Wartość przewidywana

ŷ = 35 + 2,1·4,5 = 44,45

Reszta

e = 46 − 44,45 = 1,55

Odpowiedź

e = 1,55

Punkt leży nad prostą.

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 19,46

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

palący: 120·108/240 = 54, 120·132/240 = 66

niepalący: 120·108/240 = 54, 120·132/240 = 66

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (71 − 54)²/54 + (49 − 66)²/66 + (37 − 54)²/54 + (83 − 66)²/66

χ² = 19,46

Odpowiedź

χ² = 19,46

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 4

Stopnie swobody

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

Odpowiedź

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology