Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

W idealnym rozkładzie normalnym:

AŚrednia jest zawsze większa od mediany
BŚrednia, mediana i dominanta są równe
CWiększość wyników leży w ogonach
DDominanta jest najniższym wynikiem

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Badacz zbiera dane w dziewięciu punktach czasowych i za każdym razem testuje na poziomie 5% bez korekty. Na czym polega problem?

AWielkość efektu spada z każdym testem
BPrawdopodobieństwo co najmniej jednego fałszywie pozytywnego wyniku rośnie znacznie powyżej 5%
CDane z każdym razem stają się rzetelniejsze, więc ostatni test jest najdokładniejszy
DTakie podejście nie stanowi problemu

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 15, 18, 52, 26, 45.

n = 5

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 15. Wyznacz wynik z z dla wyniku 85.

μ = 70σ = 15x = 85

z =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 4 kul czerwonych i 8 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

4 / 8

P =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

X ma pokazany rozkład, a Y = 3X + 20. Wyznacz odchylenie standardowe σ_Y zmiennej Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,2, 0,25, 0,25Y = 3X + 20

σ_Y =

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Jaka część wartości leży między 174,85 a 183,6 cm? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 178σ = 7x₁ = 174,85x₂ = 183,6

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 5% wszystkich wartości (5. percentyl).

μ = 500σ = 40P = 5%

x = h

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 6 elementów ma średnią 45 i odchylenie standardowe s = 14. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 6x̄ = 45s = 1490%t(5) = 2,015

E =

10.Przedziały ufnościTrudny

Z góry nic nie wiadomo o frakcji wadliwych produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 99 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,025?

p = 0,5E = 0,02599%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 49 studentów ma średni wynik 199 i odchylenie standardowe z próby 4. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 199s = 4n = 49

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 200 przeciw H₁: μ > 200 przeprowadza się na poziomie α = 0,10 na próbie o liczebności 36; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 18. W rzeczywistości średnia wynosi 206,6. Wyznacz moc 1 − β testu w procentach.

μ₀ = 200μ = 206,6σ = 18n = 36α = 0,10

1 − β = %

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.

n = 6

r =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1602 × 2

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Tabela pokazuje liczebności obserwowane. Sprawdź na poziomie α = 0,05, czy obie zmienne są niezależne (bez poprawki na ciągłość). Oblicz statystykę testową χ², a potem porównaj ją z wartością krytyczną z tabeli.

N = 2203 × 2α = 0,05

χ² =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Średnia, mediana i dominanta są równe

Dlaczego to jest odpowiedź

Rozkład normalny jest symetryczny i dzwonowaty, więc wszystkie trzy miary tendencji centralnej leżą w środku.

Odpowiedź

B · Średnia, mediana i dominanta są równe

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Prawdopodobieństwo co najmniej jednego fałszywie pozytywnego wyniku rośnie znacznie powyżej 5%

Dlaczego to jest odpowiedź

Przy dziewięciu niezależnych testach prawdopodobieństwo co najmniej jednego błędu I rodzaju wynosi około 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. Rozwiązaniem są korekty, np. Bonferroniego.

Odpowiedź

B · Prawdopodobieństwo co najmniej jednego fałszywie pozytywnego wyniku rośnie znacznie powyżej 5%

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 16,48

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 156/5 = 31,2

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−16,2)² + (−13,2)² + 20,8² + (−5,2)² + 13,8² = 1087

Odchylenie standardowe

s = √(1087/4) = 16,48

Odpowiedź

s = 16,48

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1

Standaryzuj

z = (85 − 70)/15 = 1

Odpowiedź

z = 1

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,09091

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 4/12 · 3/11 = 12/132 = 0,09091

Odpowiedź

P = 0,09091

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ_Y = 6,965

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Rozrzut X

μ = 2,9, Var(X) = 5,39, σ_X = 2,322

Zmiana liniowa

σ_Y = |3|·2,322 = 6,965

Odpowiedź

σ_Y = 6,965

Średnia się przesuwa: E(Y) = 3·2,9 + 20 = 28,7.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,4618

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (174,85 − 178)/7 = −0,45

z₂ = (183,6 − 178)/7 = 0,8

Pole pomiędzy

P = Φ(0,8) − Φ(−0,45) = 0,7881 − 0,3264 = 0,4618

Odpowiedź

P = 0,4618

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 434,2 h

z dla percentyla

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Powrót do x

x = 500 + −1,645·40 = 434,2 h

Odpowiedź

x = 434,2 h

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 11,52

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Margines błędu

E = 2,015·14/√6 = 11,52

Odpowiedź

E = 11,52

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 2655

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Wyznacz n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,025² = 2654

Zaokrąglij w górę

n = 2655

Odpowiedź

n = 2655

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,75

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714

Statystyka testowa

t = (199 − 200)/0,5714 = −1,75

Odpowiedź

t = −1,75

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: 1 − β = 82,07 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 18/√36 = 3

x̄_c = 200 + 1,282·3 = 203,8

z przy prawdziwej średniej

z = (203,8 − 206,6)/3 = −0,918

Moc

moc = P(Z > −0,918) = 82,07%

1 − β = 82,07%

Odpowiedź

1 − β = 82,07%

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r = 0,9918

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 471/6 = 78,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 601,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2336

Współczynnik korelacji

r = 601,5/√(157,5·2336) = 0,9918

Odpowiedź

r = 0,9918

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 20,55

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 72/5 = 14,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82

Prosta regresji

b = 82/40 = 2,05

a = 14,4 − 2,05·6 = 2,1

ŷ = 2,1 + 2,05·x

Prognoza

ŷ = 2,1 + 2,05·9 = 20,55

Odpowiedź

ŷ = 20,55

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 6,533

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

mężczyźni: 40·80/160 = 20, 40·80/160 = 20

kobiety: 120·80/160 = 60, 120·80/160 = 60

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (27 − 20)²/20 + (13 − 20)²/20 + (53 − 60)²/60 + (67 − 60)²/60

χ² = 6,533

Odpowiedź

χ² = 6,533

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 19,57

Liczebności oczekiwane

zakład A: 16, 24

zakład B: 32, 48

zakład C: 40, 60

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (11 − 16)²/16 + (29 − 24)²/24 + (21 − 32)²/32 + (59 − 48)²/48 + (56 − 40)²/40 + (44 − 60)²/60

χ² = 19,57

Decyzja

df = 2, χ²_crit = 5,991

19,57 > 5,991

Odpowiedź

χ² = 19,57

χ² jest większe od wartości krytycznej, więc H₀ zostaje odrzucona: zmienne wydają się powiązane.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology