Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Badacz wysyła kwestionariusz do wszystkich studentów, a następnie prosi respondentów o zrekrutowanie znajomych, którzy też korzystają z rzadkiej aplikacji do snu. Jaką metodę doboru zastosowano w drugim kroku?

AMetodę kuli śnieżnej
BDobór systematyczny
CLosowy dobór próby
DDobór warstwowy

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

W analizie tematycznej analityk przede wszystkim:

ATestuje hipotezę liczbową
BIdentyfikuje powtarzające się wzorce znaczeń w danych jakościowych
COblicza średni wynik dla każdego tematu, aby porównać je statystycznie
DLiczy wyłącznie częstość słów

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 29, 18, 14, 34, 54.

n = 5

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 12. Wyznacz wynik z z dla wyniku 35,6.

μ = 50σ = 12x = 35,6

z =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz odchylenie standardowe σ zmiennej X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,05, 0,3, 0,25, 0,3

σ =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €3. Wygrywasz €12 z prawdopodobieństwem 0,3 i €30 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €3€12: p = 0,3€30: p = 0,01

E(G) = €

7.Rozkład normalnyŚredni

X ma rozkład normalny ze średnią 60 s i odchyleniem standardowym 5 s; zmienna Y jest niezależna i ma rozkład normalny ze średnią 45 s i odchyleniem standardowym 4 s. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X + Y jest większe niż 113 s. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 113 s

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Średnice otworów D mają rozkład normalny ze średnią 25,02 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Średnice wałów d są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 25 mm i odchyleniem standardowym 0,02 mm. Losowo wybrany wał pasuje, gdy D − d > 0. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że pasuje. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

otwór: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmwał: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.Przedziały ufnościŚredni

U 16 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią −4,3 i odchylenie standardowe 1,1. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99 % dla średniej różnicy.

n = 16d̄ = −4,3s_d = 1,199%t(15) = 2,947

dolna granica = mmHg

10.Przedziały ufnościTrudny

Testuje się dwa nawozy. Grupa poletek 1: 7 poletek, średni plon 55 kg, odchylenie standardowe 9,5 kg. Grupa poletek 2: 7 poletek, średnia 64,5 kg, odchylenie standardowe 10 kg. Załóż równe wariancje (łączne t, df = n₁ + n₂ − 2). Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 99 % dla μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 55s₁ = 9,5n₂ = 7x̄₂ = 64,5s₂ = 1099%t(12) = 3,055

dolna granica = kg

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 250; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 24. Losowa próba 36 obserwacji ma średnią 245,04. Przetestuj H₀: μ = 250 przeciw H₁: μ < 250. Wyznacz wartość p p.

μ₀ = 250σ = 24n = 36x̄ = 245,04H₁: μ < μ₀

p =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 50 z 250 pacjentów leczonych metodą A i 36 z 120 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 50n₁ = 250x₂ = 36n₂ = 120

z =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1202 × 2

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test niezależności chi-kwadrat przeprowadza się na tabeli kontyngencji o 3 wierszach i 3 kolumnach (bez sum). Ile stopni swobody df ma test?

3 × 3

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Metodę kuli śnieżnej

Dlaczego to jest odpowiedź

Metoda kuli śnieżnej przydaje się przy grupach trudno dostępnych, ale próba prawdopodobnie ma wspólne cechy i nie jest reprezentatywna.

Odpowiedź

A · Metodę kuli śnieżnej

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Identyfikuje powtarzające się wzorce znaczeń w danych jakościowych

Dlaczego to jest odpowiedź

Analiza tematyczna obejmuje zapoznanie się z danymi, kodowanie, wyłanianie, przegląd i nazywanie tematów oraz raport; skupia się na znaczeniu, a nie na statystyce.

Odpowiedź

B · Identyfikuje powtarzające się wzorce znaczeń w danych jakościowych

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 15,75

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 149/5 = 29,8

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−0,8)² + (−11,8)² + (−15,8)² + 4,2² + 24,2² = 992,8

Odchylenie standardowe

s = √(992,8/4) = 15,75

Odpowiedź

s = 15,75

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = −1,2

Standaryzuj

z = (35,6 − 50)/12 = −1,2

Odpowiedź

z = −1,2

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: σ = 1,241

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 1·0,1 + 2·0,05 + 3·0,3 + 4·0,25 + 5·0,3 = 3,6

Średnia kwadratów

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,05 + 9·0,3 + 16·0,25 + 25·0,3 = 14,5

Wariancja

Var(X) = 14,5 − 3,6² = 1,54

σ = √1,54 = 1,241

Odpowiedź

σ = 1,241

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 0,9 €

Wyniki netto

G: 9 (p = 0,3), 27 (p = 0,01), −3 (p = 0,69)

Wartość oczekiwana

E(G) = 9·0,3 + 27·0,01 − 3·0,69 = 0,9 €

Odpowiedź

E(G) = 0,9 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,1056

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standaryzuj

z = (113 − 105)/6,403 = 1,25

Górny ogon

P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056

Odpowiedź

P = 0,1056

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,7611

Rozkład różnicy

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02828 mm

Standaryzuj

z = (0 − 0,02)/0,02828 = −0,71

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,71) = 0,7611

Odpowiedź

P = 0,7611

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = −5,11 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Wartość krytyczna

df = 15, t = 2,947

Margines błędu

E = 2,947·1,1/√16 = 0,8104

Przedział

−4,3 ± 0,8104 → [−5,11, −3,49]

Odpowiedź

dolna granica = −5,11 mmHg

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = −25,43 kg

Łączne odchylenie standardowe

s_p² = (6·9,5² + 6·10²)/12 = 95,13

s_p = 9,753

Margines błędu

E = 3,055·9,753·√(1/7 + 1/7) = 15,93

Przedział

−9,5 ± 15,93 → [−25,43, 6,427]

Odpowiedź

dolna granica = −25,43 kg

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: p = 0,1075

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statystyka testowa

SE = σ/√n = 24/√36 = 4

z = (245,04 − 250)/4 = −1,24

Pole ogona

Φ(1,24) = 0,8925

1 − Φ(1,24) = 0,1075

Wartość p

p = 0,1075

Odpowiedź

p = 0,1075

p > 0,05, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 %.

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −2,132

Frakcje z prób

p̂₁ = 50/250 = 0,2

p̂₂ = 36/120 = 0,3

p̂ = 86/370 = 0,2324

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,2324·0,7676·(1/250 + 1/120)) = 0,04691

Statystyka testowa

z = (0,2 − 0,3)/0,04691 = −2,132

Odpowiedź

z = −2,132

|z| > 1,96, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9259

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 98/5 = 19,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 43,2

Współczynnik determinacji

r² = −20²/(10·43,2) = 0,9259

Odpowiedź

r² = 0,9259

Około 92,59% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 24,1

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 128/5 = 25,6

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −10

Prosta regresji

b = −10/10 = −1

a = 25,6 − (−1)·3 = 28,6

ŷ = 28,6 − 1·x

Prognoza

ŷ = 28,6 + (−1)·4,5 = 24,1

Odpowiedź

ŷ = 24,1

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 4,121

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

nowy lek: 40·42/120 = 14, 40·78/120 = 26

placebo: 80·42/120 = 28, 80·78/120 = 52

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (19 − 14)²/14 + (21 − 26)²/26 + (23 − 28)²/28 + (57 − 52)²/52

χ² = 4,121

Odpowiedź

χ² = 4,121

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): odrzucona.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 4

Stopnie swobody

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

Odpowiedź

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology