Statystyka opisowa
- Średnia
- x̄ = Σx/n
- Odchylenie standardowe z próby
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- środkowa wartość uporządkowanych danych
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Rozkład normalny
- 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ
Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Prawdopodobieństwo
- Zdarzenie przeciwne
- P(not A) = 1 − P(A)
- Reguła dodawania
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Zdarzenia niezależne
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Prawdopodobieństwo warunkowe
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Rozkład dwumianowy
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Rozkład normalny
- Wynik z
- z = (x − μ)/σ
- Poniżej x
- P(X < x) = Φ(z)
- Powyżej x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Pomiędzy
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentyl
- x = μ + z·σ
Metoda
- Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
- Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
- Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
- Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.
Przedziały ufności
- σ znane
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nieznane
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Wartość krytyczna z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Liczebność próby
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metoda
- Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
- Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
- Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
- Przedział: x̄ ± E.
Testy hipotez i przedziały ufności
- Test z dla średniej
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t dla średniej
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dwustronny na poziomie 5%
- odrzuć H0, jeśli |z| > 1,96
- Przedział ufności
- x̄ ± z·σ/√n
Metoda
- Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
- Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
- Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
- Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.
Regresja liniowa i korelacja
- Sumy kwadratów
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Współczynnik kierunkowy
- b = Sxy/Sxx
- Wyraz wolny
- a = ȳ − b·x̄
- Korelacja
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reszta
- e = y − ŷ
Testy chi-kwadrat
- Statystyka testowa
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Test zgodności
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Niezależność
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Wartości krytyczne (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Decyzja
- odrzuć H0, jeśli χ² > χ²crit
2Zadania do ćwiczenia
1.Metody badawcze w psychologiiŚredni
Nowy kwestionariusz depresji przewiduje, którzy studenci w ciągu następnego roku podejmą leczenie. Wspiera to trafność:
- AFasadową
- BTreściową
- CDiagnostyczną (równoczesną)
- DPrognostyczną
2.Metody badawcze w psychologiiTrudny
Badanie wykazuje, że wpływ stresu na zachorowania jest słabszy u osób z silnym wsparciem społecznym. Wsparcie społeczne działa tu jako:
- AZmienna zależna
- BMediator
- CModerator
- DCzynnik zakłócający
3.Statystyka opisowaŚredni
Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 20, 38, 17, 40, 42, 38.
n = 6
s =
4.Statystyka opisowaTrudny
Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 5. Jaka część P wartości leży powyżej 73?
μ = 70σ = 5x = 73
P =
5.PrawdopodobieństwoŚredni
Na ile sposobów N można wybrać komisję 3 osób z grupy 6 osób? Kolejność nie ma znaczenia.
n = 6k = 3
N =
6.PrawdopodobieństwoTrudny
Testuje się 6 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,25. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?
n = 6p = 0,25
P =
7.Rozkład normalnyŚredni
Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Jaka część wartości leży między 85 a 130 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.
μ = 100σ = 15x1 = 85x2 = 130
P =
8.Rozkład normalnyTrudny
Rozkład wzrostu dorosłych mężczyzn jest normalny ze średnią 178 cm i odchyleniem standardowym 7 cm. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane górne 30% leżało na prawo od niej. Znajdź wartość graniczną x.
μ = 178 cmσ = 7 cm30%
x = cm
9.Przedziały ufnościŚredni
U 8 pacjentów mierzy się ciśnienie krwi przed leczeniem i po nim. Różnice d = przed − po (mmHg) mają średnią −6,2 i odchylenie standardowe 5,7. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 95 % dla średniej różnicy.
n = 8d̄ = −6,2sd = 5,795%t(7) = 2,365
dolna granica = mmHg
10.Przedziały ufnościTrudny
Z góry nic nie wiadomo o frakcji wadliwych produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 95 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,04?
p = 0,5E = 0,0495%
n =
11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni
Twierdzi się, że średnia populacji wynosi 250; odchylenie standardowe populacji jest znane i wynosi 18. Losowa próba 144 obserwacji ma średnią 253,42. Przetestuj H₀: μ = 250 przeciw H₁: μ > 250. Wyznacz wartość p p.
μ₀ = 250σ = 18n = 144x̄ = 253,42H₁: μ > μ₀
p =
12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny
Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 3 jednostek z mocą 90 %. Odchylenie standardowe wynosi 15. Wyznacz minimalną liczebność próby n.
α = 0,01moc = 90%δ = 3σ = 15zα = 2,326zβ = 1,282
n =
13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni
Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik korelacji Pearsona r.
n = 5
r =
14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny
Tabela podaje 6 par obserwacji x = temperatura w °C i y = liczba sprzedanych lodów. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 80?
n = 6ŷ = 80
x =
15.Testy chi-kwadratŚredni
Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.
N = 1602 × 3
χ² =
16.Testy chi-kwadratTrudny
Test niezależności chi-kwadrat przeprowadza się na tabeli kontyngencji o 2 wierszach i 11 kolumnach (bez sum). Ile stopni swobody df ma test?
2 × 11
df =
3Roztwory
1.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: D · Prognostyczną
Dlaczego to jest odpowiedź
Trafność prognostyczną wykazuje się, gdy wyniki przewidują późniejsze kryterium. Trafność równoczesna wykorzystuje kryterium mierzone w tym samym czasie.
Odpowiedź
D · Prognostyczną
2.Metody badawcze w psychologii
Odpowiedź: C · Moderator
Dlaczego to jest odpowiedź
Moderator zmienia siłę lub kierunek związku między dwiema zmiennymi. Mediator wyjaśnia mechanizm, przez który jedna zmienna wpływa na drugą.
Odpowiedź
C · Moderator
3.Statystyka opisowa
Odpowiedź: s = 10,99
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Średnia
x̄ = 195/6 = 32,5
Kwadraty odchyleń
Σ(x − x̄)² = (−12,5)² + 5,5² + (−15,5)² + 7,5² + 9,5² + 5,5² = 603,5
Odchylenie standardowe
s = √(603,5/5) = 10,99
Odpowiedź
s = 10,99
4.Statystyka opisowa
Odpowiedź: P = 0,2743
Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.
Standaryzuj
z = 0,6
Tablica rozkładu normalnego
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Odpowiedź
P = 0,2743
5.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: N = 20
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinacje
C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20
Odpowiedź
N = 20
6.Prawdopodobieństwo
Odpowiedź: P = 0,5339
Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero i jedna awaria
P(X = 0) = 0,756 = 0,178
P(X = 1) = 6·0,25·0,755 = 0,356
Dodaj
P = 0,178 + 0,356 = 0,5339
Odpowiedź
P = 0,5339
7.Rozkład normalny
Odpowiedź: P = 0,8186
Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.
Wyniki z
z₁ = (85 − 100)/15 = −1
z₂ = (130 − 100)/15 = 2
Pole pomiędzy
P = Φ(2) − Φ(−1) = 0,9772 − 0,1587 = 0,8186
Odpowiedź
P = 0,8186
8.Rozkład normalny
Odpowiedź: x = 181,6 cm
Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.
Pole po lewej
Φ(z) = 0,7
z z tablicy
z ≈ 0,52
Z powrotem do pierwotnych jednostek
x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm
Odpowiedź
x = 181,6 cm
9.Przedziały ufności
Odpowiedź: dolna granica = −10,97 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Wartość krytyczna
df = 7, t = 2,365
Margines błędu
E = 2,365·5,7/√8 = 4,766
Przedział
−6,2 ± 4,766 → [−10,97, −1,434]
Odpowiedź
dolna granica = −10,97 mmHg
10.Przedziały ufności
Odpowiedź: n = 601
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Wyznacz n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,04² = 600,2
Zaokrąglij w górę
n = 601
Odpowiedź
n = 601
11.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: p = 0,0113
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statystyka testowa
SE = σ/√n = 18/√144 = 1,5
z = (253,42 − 250)/1,5 = 2,28
Pole ogona
Φ(2,28) = 0,9887
1 − Φ(2,28) = 0,0113
Wartość p
p = 0,0113
Odpowiedź
p = 0,0113
p ≤ 0,05, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 %.
12.Testy hipotez i przedziały ufności
Odpowiedź: n = 326
Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.
Wyznacz n
n = ((2,326 + 1,282)·15/3)² = 325,4
Zaokrąglij w górę
n = 326
Odpowiedź
n = 326
13.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: r = 0,9937
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 392/5 = 78,4
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 282
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2013
Współczynnik korelacji
r = 282/√(40·2013) = 0,9937
Odpowiedź
r = 0,9937
14.Regresja liniowa i korelacja
Odpowiedź: x = 27,07
Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.
Średnie
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 391/6 = 65,17
Sumy kwadratów i iloczynów
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 255
Prosta regresji
b = 255/70 = 3,643
a = 65,17 − 3,643·23 = −18,62
ŷ = −18,62 + 3,643·x
Wyznacz x
x = (80 − (−18,62))/3,643 = 27,07
Odpowiedź
x = 27,07
15.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: χ² = 3,714
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Liczebności oczekiwane
studenci: 120·32/160 = 24, 120·72/160 = 54, 120·56/160 = 42
pracownicy: 40·32/160 = 8, 40·72/160 = 18, 40·56/160 = 14
Statystyka chi-kwadrat
χ² = (22 − 24)²/24 + (51 − 54)²/54 + (47 − 42)²/42 + (10 − 8)²/8 + (21 − 18)²/18 + (9 − 14)²/14
χ² = 3,714
Odpowiedź
χ² = 3,714
df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.
16.Testy chi-kwadrat
Odpowiedź: df = 10
Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.
Stopnie swobody
df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10
Odpowiedź
df = 10
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology