Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Tych samych 25 uczestników wykonuje test pamięci przed przyjęciem kofeiny i po nim. Wyniki są interwałowe i mają rozkład zbliżony do normalnego. Który test jest odpowiedni?

ATest t dla prób zależnych
BTest t dla prób niezależnych
CTest U Manna–Whitneya
DTest chi-kwadrat

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

„Kryzys replikacyjny" w psychologii oznacza:

APrawny obowiązek odrzucania przez czasopisma wszystkich nadsyłanych badań replikacyjnych
BŻe wiele opublikowanych wyników nie powtarza się w nowych badaniach
CKopiowanie kwestionariuszy bez zgody
DBrak uczestników do eksperymentów

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 51, 56, 16, 50, 33, 55.

n = 6

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wyniki egzaminu mają rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 8. Wyznacz wynik z z dla wyniku 82.

μ = 70σ = 8x = 82

z =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 8 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 8

P =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 9 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,3, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 4 poprawnych odpowiedzi?

n = 9p = 0,3k = 4

P =

7.Rozkład normalnyŚredni

Masy pasażerów z bagażem są niezależne i mają rozkład normalny ze średnią 85 kg i odchyleniem standardowym 12 kg. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że łączna masa 6 z nich przekroczy 495,3 kg. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 6> 495,3 kg

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Masa X produktu z linii 1 i masa Y produktu z linii 2 są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie normalnym: X ma średnią 500 g i odchylenie standardowe 8 g, Y ma średnią 490 g i odchylenie standardowe 6 g. Wyznacz prawdopodobieństwo P, że X jest większe od Y. Zaokrąglij z do dwóch miejsc po przecinku.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 21 elementów ma średnią 10 i odchylenie standardowe s = 11,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz dolną granicę przedziału ufności 90% dla średniej.

n = 21x̄ = 10s = 11,590%t(20) = 1,725

dolna granica =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 37. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 1,5?

σ = 37E = 1,599%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

13 pracowników wykonuje test pisania na klawiaturze przed kursem i po nim. Dla każdej osoby zapisuje się różnicę d = po − przed (słowa na minutę). Średnia różnica wynosi 6,32, a odchylenie standardowe różnic 9,5. Wyznacz statystykę testu dla prób zależnych t dla H₀: μ_d = 0.

n = 13d̄ = 6,32s_d = 9,5

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z na poziomie α = 0,01 ma wykryć przesunięcie średniej o 5 jednostek z mocą 90 %. Odchylenie standardowe wynosi 29. Wyznacz minimalną liczebność próby n.

α = 0,01moc = 90%δ = 5σ = 29z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 5

r² =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 7.

n = 5x = 7

ŷ =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat porównuje liczebności obserwowane w 10 kategoriach z w pełni określonymi oczekiwanymi udziałami (żadne parametry nie są estymowane z danych). Korzystając z tabeli, wyznacz wartość krytyczną χ²_crit na poziomie istotności α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Test t dla prób zależnych

Dlaczego to jest odpowiedź

Test t dla prób zależnych porównuje średnie tych samych uczestników w dwóch warunkach, wykorzystując różnice u każdej osoby.

Odpowiedź

A · Test t dla prób zależnych

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Że wiele opublikowanych wyników nie powtarza się w nowych badaniach

Dlaczego to jest odpowiedź

Duże projekty replikacyjne wykazały, że wiele efektów jest mniejszych lub nie występuje, co wiąże się z błędem publikacyjnym, małymi próbami i elastyczną analizą. Jedną z odpowiedzi jest prerejestracja.

Odpowiedź

B · Że wiele opublikowanych wyników nie powtarza się w nowych badaniach

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 15,83

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 261/6 = 43,5

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 7,5² + 12,5² + (−27,5)² + 6,5² + (−10,5)² + 11,5² = 1254

Odchylenie standardowe

s = √(1254/5) = 15,83

Odpowiedź

s = 15,83

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: z = 1,5

Standaryzuj

z = (82 − 70)/8 = 1,5

Odpowiedź

z = 1,5

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,7674

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Odpowiedź

P = 0,7674

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,1715

Wzór dwumianowy

P(X = 4) = 126·0,3⁴·0,7⁵ = 126·0,0081·0,1681 = 0,1715

Odpowiedź

P = 0,1715

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6915

Sumy i różnice zmiennych normalnych: jeśli X i Y są niezależne i mają rozkład normalny, to X + Y i X − Y również mają rozkład normalny. Średnie dodają się lub odejmują: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Wariancje zawsze się dodają, także dla różnicy: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², więc σ = √(σ_X² + σ_Y²). Odchylenia standardowe nigdy nie dodają się bezpośrednio. Suma n niezależnych elementów o tym samym rozkładzie ma średnią n·μ i odchylenie standardowe σ·√n. Potem standaryzuj jak zwykle: z = (x − średnia)/σ i odczytaj Φ(z).

Rozkład sumy całkowitej

μ_T = 510 kg, σ_T = 12·√6 = 29,39 kg

Standaryzuj

z = (495,3 − 510)/29,39 = −0,5

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915

Odpowiedź

P = 0,6915

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,8413

Rozkład różnicy

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standaryzuj

z = (0 − 10)/10 = −1

Prawdopodobieństwo

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Odpowiedź

P = 0,8413

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: dolna granica = 5,671

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Margines błędu

E = 1,725·11,5/√21 = 4,329

Przedział

10 ± 4,329 → [5,671, 14,33]

Odpowiedź

dolna granica = 5,671

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 4038

Wyznacz n

n = (2,576·37/1,5)² = 4038

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 4038

Odpowiedź

n = 4038

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 2,399

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Błąd standardowy średniej różnicy

SE = 9,5/√13 = 2,635

Statystyka testowa

t = 6,32/2,635 = 2,399

Odpowiedź

t = 2,399

Przy df = 12 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,179; |t| jest większe, więc H₀ odrzuca się.

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 438

Liczebność próby dla testu: aby wykryć prawdziwe przesunięcie δ z mocą 1 − β w jednostronnym teście z na poziomie α, błąd standardowy musi spełniać δ = (z_α + z_β)·σ/√n, więc n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², zaokrąglone w górę.

Wyznacz n

n = ((2,326 + 1,282)·29/5)² = 437,9

Zaokrąglij w górę

n = 438

Odpowiedź

n = 438

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9703

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 355/5 = 71

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 710

Współczynnik determinacji

r² = 166²/(40·710) = 0,9703

Odpowiedź

r² = 0,9703

Około 97,03% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 21,3

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 92/5 = 18,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116

Prosta regresji

b = 116/40 = 2,9

a = 18,4 − 2,9·6 = 1

ŷ = 1 + 2,9·x

Prognoza

ŷ = 1 + 2,9·7 = 21,3

Odpowiedź

ŷ = 21,3

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 0,8381

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

studenci: 60·32/160 = 12, 60·72/160 = 27, 60·56/160 = 21

pracownicy: 100·32/160 = 20, 100·72/160 = 45, 100·56/160 = 35

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (14 − 12)²/12 + (27 − 27)²/27 + (19 − 21)²/21 + (18 − 20)²/20 + (45 − 45)²/45 + (37 − 35)²/35

χ² = 0,8381

Odpowiedź

χ² = 0,8381

df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ²_crit = 21,67

Stopnie swobody

df = 10 − 1 = 9

Tabela

χ²_crit(df = 9, α = 0,01) = 21,666

Odpowiedź

χ²_crit = 21,666

Odrzuć H₀, jeśli obliczone χ² jest większe od tej wartości.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology