Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Obciążenie publikacyjne oznacza:

AWiększe prawdopodobieństwo publikacji badań z wynikami istotnymi niż z wynikami zerowymi
BPublikowanie przez czasopisma wyłącznie badań jakościowych
CFaworyzowanie przez recenzentów prac autorów ze słynnych uczelni kosztem mniej znanych
DDwukrotne publikowanie tego samego badania przez badaczy

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Badanie pamięci wykorzystuje schemat z powtarzanym pomiarem, w którym każdy uczy się najpierw listy A, a potem listy B. Przypominanie jest lepsze dla listy B. Jaka jest najbardziej prawdopodobna wada?

AEfekty kolejności, np. praktyki, bo nie zrównoważono kolejności warunków
BUżycie porządkowego poziomu pomiaru
CZbyt duża liczebność próby
DRóżnice indywidualne między grupami

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 59, 23, 34, 27, 14, 20.

n = 6

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 50 i odchyleniem standardowym 8. Jaka część P wartości leży poniżej 40,4?

μ = 50σ = 8x = 40,4

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Uczciwą kostką rzucamy 2 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo P wyrzucenia co najmniej jednej szóstki?

n = 2

P =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Testuje się 11 elementów, a każdy psuje się niezależnie z prawdopodobieństwem 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że zepsuje się co najwyżej jeden?

n = 11p = 0,7

P =

7.Rozkład normalnyŚredni

Przeciągnij z tak, aby zacieniowane pole pod standardową krzywą normalną, na prawo od z, wynosiło 0,9649. Znajdź z z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

A = 0,9649

z =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 40% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 100 pktσ = 15 pkt40%

x = pkt

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 10 elementów ma średnią 39 i odchylenie standardowe s = 12,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz górną granicę przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 10x̄ = 39s = 12,599%t(9) = 3,25

górna granica =

10.Przedziały ufnościTrudny

Z góry nic nie wiadomo o frakcji wadliwych produktów. Ile produktów n trzeba skontrolować, aby przedział ufności 99 % dla frakcji miał margines błędu co najwyżej 0,04?

p = 0,5E = 0,0499%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 100 studentów ma średni wynik 117,5 i odchylenie standardowe z próby 8. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 117,5s = 8n = 100

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jednostronny test z dla H₀: μ = 200 przeciw H₁: μ < 200 przeprowadza się na poziomie α = 0.01 na próbie o liczebności 100; odchylenie standardowe jest znane i wynosi 30. W rzeczywistości średnia wynosi 188.6. Wyznacz prawdopodobieństwo błędu II rodzaju β w procentach.

μ₀ = 200μ = 188,6σ = 30n = 100α = 0,01

β = %

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 12?

n = 5ŷ = 12

x =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. W teście niezależności chi-kwadrat wyznacz liczebność oczekiwaną E dla komórki „miasto, niski”.

suma wiersza = 62suma kolumny = 48N = 124

E =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat porównuje liczebności obserwowane w 10 kategoriach z w pełni określonymi oczekiwanymi udziałami (żadne parametry nie są estymowane z danych). Ile stopni swobody df ma test?

k = 10

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Większe prawdopodobieństwo publikacji badań z wynikami istotnymi niż z wynikami zerowymi

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdy badania z wynikami nieistotnymi zostają w szufladach, opublikowana literatura przeszacowuje wielkości efektów, co zniekształca metaanalizy.

Odpowiedź

A · Większe prawdopodobieństwo publikacji badań z wynikami istotnymi niż z wynikami zerowymi

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Efekty kolejności, np. praktyki, bo nie zrównoważono kolejności warunków

Dlaczego to jest odpowiedź

Gdy wszyscy uczestnicy przechodzą warunki w tej samej kolejności, poprawa może odzwierciedlać praktykę, a nie listę. Kontroluje to równoważenie kolejności (ABBA albo połowa AB, połowa BA).

Odpowiedź

A · Efekty kolejności, np. praktyki, bo nie zrównoważono kolejności warunków

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 15,93

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 177/6 = 29,5

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 29,5² + (−6,5)² + 4,5² + (−2,5)² + (−15,5)² + (−9,5)² = 1270

Odchylenie standardowe

s = √(1270/5) = 15,93

Odpowiedź

s = 15,93

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,1151

Standaryzuj

z = −1,2

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Odpowiedź

P = 0,1151

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,3056

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zdarzenie przeciwne

P(brak szóstki) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Odpowiedź

P = 0,3056

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 4,724 × 10⁻⁵

Zero i jedna awaria

P(X = 0) = 0,3¹¹ = 1,771 × 10⁻⁶

P(X = 1) = 11·0,7·0,3¹⁰ = 4,547 × 10⁻⁵

Dodaj

P = 1,771 × 10⁻⁶ + 4,547 × 10⁻⁵ = 4,724 × 10⁻⁵

Odpowiedź

P = 4,724 × 10⁻⁵

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: z = −1,81

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole na lewo od z

Φ(z) = 1 − 0,9649 = 0,0351

Czytaj tablicę z wstecz

Znajdź 0,0351 wewnątrz tablicy i odczytaj z.

z = −1,81

Odpowiedź

z = −1,81

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 96,3 pkt

Pole po lewej

Φ(z) = 0,4

z z tablicy

z ≈ −0,25

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 100 − 0,25·15 = 96,3 pkt

Odpowiedź

x = 96,3 pkt

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: górna granica = 51,85

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Margines błędu

E = 3,25·12,5/√10 = 12,85

Przedział

39 ± 12,85 → [26,15, 51,85]

Odpowiedź

górna granica = 51,85

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 1037

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Wyznacz n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,04² = 1037

Zaokrąglij w górę

n = 1037

Odpowiedź

n = 1037

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −3,125

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Statystyka testowa

t = (117,5 − 120)/0,8 = −3,125

Odpowiedź

t = −3,125

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, więc H₀ odrzuca się na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: β = 7,024 %

Moc testu: moc = 1 − β to prawdopodobieństwo odrzucenia H₀, gdy jest ona fałszywa. Wyznacz próg x̄c z μ₀ i z_α, a potem oblicz prawdopodobieństwo znalezienia się poza x̄c przy prawdziwej średniej: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Krytyczna średnia z próby

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 200 − 2,326·3 = 193

z przy prawdziwej średniej

z = (193 − 188,6)/3 = 1,474

Błąd II rodzaju

moc = P(Z < 1.474) = 92.98%

β = 100% − 92,98% = 7,024%

Odpowiedź

β = 7,024%

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9796

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 84/6 = 14

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 210

Współczynnik determinacji

r² = 120²/(70·210) = 0,9796

Odpowiedź

r² = 0,9796

Około 97,96% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 3,125

Średnie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 106/5 = 21,2

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

Prosta regresji

b = 128/40 = 3,2

a = 21,2 − 3,2·6 = 2

ŷ = 2 + 3,2·x

Wyznacz x

x = (12 − 2)/3,2 = 3,125

Odpowiedź

x = 3,125

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: E = 24

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebność oczekiwana

E = 62·48/124 = 24

Odpowiedź

E = 24

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 9

Stopnie swobody

df = 10 − 1 = 9

Odpowiedź

df = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology