Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Wartość p równa 0,03 oznacza:

AWynik powtórzy się w 97% przypadków
BGdyby hipoteza zerowa była prawdziwa, tak skrajne dane pojawiałyby się w około 3% przypadków
CEfekt jest duży
DPrzy zaobserwowanych danych prawdopodobieństwo, że hipoteza zerowa jest prawdziwa, wynosi tylko 3%

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Test „inteligencji" mierzy głównie, jak szybko ludzie piszą na klawiaturze. Jakiego rodzaju trafności najwyraźniej mu brakuje?

ARzetelności między sędziami
BZgodności wewnętrznej
CTrafności teoretycznej
DRzetelności test-retest

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 17, 30, 29, 55, 56, 43.

n = 6

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 20. Jaka część P wartości leży poniżej 40?

μ = 70σ = 20x = 40

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

W worku jest 6 kul czerwonych i 5 niebieskich. Losujesz dwie kule bez zwracania pierwszej. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że obie są czerwone?

6 / 5

P =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Test ma 8 pytań wielokrotnego wyboru. Studentka, która zgaduje, odpowiada poprawnie na każde z prawdopodobieństwem 0,2, niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo P dokładnie 3 poprawnych odpowiedzi?

n = 8p = 0,2k = 3

P =

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład wyników testu IQ jest normalny ze średnią 100 pkt i odchyleniem standardowym 15 pkt. Jaka część wartości leży między 95,5 a 122,5 pkt? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 100σ = 15x₁ = 95,5x₂ = 122,5

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Przeciągnij wartość graniczną tak, aby zacieniowane dolne 40% leżało na lewo od niej. Znajdź wartość graniczną x.

μ = 500 hσ = 40 h40%

x = h

9.Przedziały ufnościŚredni

Przedział ufności 90 % dla średniej, oparty na 64 obserwacjach i znanym σ, ma margines błędu 1,6. Jaki jest margines błędu E₂ przedziału 95 % opartego na 16 obserwacjach?

90%n₁ = 64E₁ = 1,695%n₂ = 16

E₂ =

10.Przedziały ufnościTrudny

Średnice 16 toczonych wałków mają odchylenie standardowe z próby 6,8 µm. Zakładając, że średnice mają rozkład normalny, wyznacz σ: górna granica przedziału ufności 95 % dla odchylenia standardowego populacji. Przy df = 15 2,5 % rozkładu χ² leży poniżej 6,262, a 2,5 % powyżej 27,488.

n = 16s = 6,8 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Porównuje się dwie metody nauczania. Grupa 1: 22 uczniów, średni wynik 78,5, odchylenie standardowe 11,5. Grupa 2: 9 uczniów, średni wynik 82,8, odchylenie standardowe 8,5. Załóż równe wariancje populacji i użyj testu t dla dwóch prób z łączną wariancją. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ₁ = μ₂, przyjmując różnicę jako x̄₁ − x̄₂ (grupa 1 minus grupa 2).

n₁ = 22x̄₁ = 78,5s₁ = 11,5n₂ = 9x̄₂ = 82,8s₂ = 8,5

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

W badaniu klinicznym wyzdrowiało 56 z 80 pacjentów leczonych metodą A i 94 z 120 pacjentów leczonych metodą B. Korzystając z frakcji łącznej, wyznacz statystykę testową z dla H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 56n₁ = 80x₂ = 94n₂ = 120

z =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = wiek samochodu w latach i y = cena w tys. €. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Dla jakiej wartości x prosta przewiduje ŷ = 19?

n = 5ŷ = 19

x =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 2002 × 3

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test zgodności chi-kwadrat sprawdza, czy liczebności w 5 kategoriach mają rozkład Poissona, którego średnią estymuje się z tych samych danych. Ile stopni swobody df ma test?

k = 5

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Gdyby hipoteza zerowa była prawdziwa, tak skrajne dane pojawiałyby się w około 3% przypadków

Dlaczego to jest odpowiedź

Wartość p to prawdopodobieństwo uzyskania wyników co najmniej tak skrajnych jak zaobserwowane, gdyby hipoteza zerowa była prawdziwa. Nie podaje prawdopodobieństwa prawdziwości hipotezy ani wielkości efektu.

Odpowiedź

B · Gdyby hipoteza zerowa była prawdziwa, tak skrajne dane pojawiałyby się w około 3% przypadków

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: C · Trafności teoretycznej

Dlaczego to jest odpowiedź

Trafność teoretyczna dotyczy tego, czy miara rzeczywiście odzwierciedla leżący u jej podstaw konstrukt. Test może być rzetelny, a mimo to mierzyć niewłaściwą rzecz.

Odpowiedź

C · Trafności teoretycznej

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 15,64

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 230/6 = 38,33

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = (−21,33)² + (−8,333)² + (−9,333)² + 16,67² + 17,67² + 4,667² = 1223

Odchylenie standardowe

s = √(1223/5) = 15,64

Odpowiedź

s = 15,64

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,06681

Standaryzuj

z = −1,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Odpowiedź

P = 0,06681

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,2727

Prawdopodobieństwo: przy jednakowo prawdopodobnych wynikach P(A) = sprzyjające/wszystkie. Dla zdarzeń niezależnych mnożymy: P(A i B) = P(A)·P(B). Często pomaga zdarzenie przeciwne: P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne). Rozkład dwumianowy: w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pierwsze i drugie losowanie

P = 6/11 · 5/10 = 30/110 = 0,2727

Odpowiedź

P = 0,2727

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: P = 0,1468

Wzór dwumianowy

P(X = 3) = 56·0,2³·0,8⁵ = 56·0,008·0,3277 = 0,1468

Odpowiedź

P = 0,1468

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,5511

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (95,5 − 100)/15 = −0,3

z₂ = (122,5 − 100)/15 = 1,5

Pole pomiędzy

P = Φ(1,5) − Φ(−0,3) = 0,9332 − 0,3821 = 0,5511

Odpowiedź

P = 0,5511

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 490 h

Od pola z powrotem do z: Φ(z) to pole na lewo od z. Dla pola lewego ogona A znajdź w tablicy z, dla którego Φ(z) = A. Pole prawego ogona A oznacza Φ(z) = 1 − A. Pole środkowe A między −z a z zostawia (1 − A)/2 w każdym ogonie, więc Φ(z) = (1 + A)/2. Dla wartości x użyj x = μ + zσ.

Pole po lewej

Φ(z) = 0,4

z z tablicy

z ≈ −0,25

Z powrotem do pierwotnych jednostek

x = 500 − 0,25·40 = 490 h

Odpowiedź

x = 490 h

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E₂ = 3,813

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Stosunek marginesów

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(64/16) = 2,383

Nowy margines

E₂ = 1,6·2,383 = 3,813

Odpowiedź

E₂ = 3,813

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: σ = 10,52 µm

Przedział dla wariancji: (n − 1)s²/σ² ma rozkład χ² z n − 1 stopniami swobody. Przedział 95 % dla σ² rozciąga się od (n − 1)s² podzielonego przez górną wartość χ² (2,5 % powyżej niej) do (n − 1)s² podzielonego przez dolną wartość χ² (2,5 % poniżej niej); przedział dla σ to pierwiastki z obu granic. Nie jest on symetryczny względem s.

Suma kwadratów

(n − 1)s² = 15·6,8² = 693,6

Granice dla σ²

693,6/27,488 = 25,23

693,6/6,262 = 110,8

Granica dla σ

σ = √110,8 = 10,52 µm

Odpowiedź

σ = 10,52 µm

Przedział 95 % dla σ: [5,023, 10,52] µm.

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = −1,01

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Wariancja łączna

s_p² = (21·11,5² + 8·8,5²)/29 = 115,7

s_p = 10,76

Błąd standardowy

SE = 10,76·√(1/22 + 1/9) = 4,256

Statystyka testowa

t = (78,5 − 82,8)/4,256 = −1,01

Odpowiedź

t = −1,01

Przy df = 29 dwustronna wartość krytyczna dla 5 % wynosi 2,045; |t| jest mniejsze, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: z = −1,333

Frakcje z prób

p̂₁ = 56/80 = 0,7

p̂₂ = 94/120 = 0,7833

p̂ = 150/200 = 0,75

Błąd standardowy przy H₀

SE = √(0,75·0,25·(1/80 + 1/120)) = 0,0625

Statystyka testowa

z = (0,7 − 0,7833)/0,0625 = −1,333

Odpowiedź

z = −1,333

|z| < 1.96, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9709

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 93/6 = 15,5

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 155

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 353,5

Współczynnik determinacji

r² = 155²/(70·353,5) = 0,9709

Odpowiedź

r² = 0,9709

Około 97,09% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: x = 4,5

Średnie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 107/5 = 21,4

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16

Prosta regresji

b = −16/10 = −1,6

a = 21,4 − (−1,6)·3 = 26,2

ŷ = 26,2 − 1,6·x

Wyznacz x

x = (19 − 26,2)/(−1,6) = 4,5

Odpowiedź

x = 4,5

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 5,478

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

miasto: 100·40/200 = 20, 100·90/200 = 45, 100·70/200 = 35

wieś: 100·40/200 = 20, 100·90/200 = 45, 100·70/200 = 35

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (15 − 20)²/20 + (43 − 45)²/45 + (42 − 35)²/35 + (25 − 20)²/20 + (47 − 45)²/45 + (28 − 35)²/35

χ² = 5,478

Odpowiedź

χ² = 5,478

df = 2. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 5,991, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 3

Stopnie swobody

df = 5 − 1 − 1 = 3

Odpowiedź

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology