Metodologia badań i statystyka w psychologii: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 16 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadania Wróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Statystyka opisowa

Średnia: x̄ = Σx/n
Odchylenie standardowe z próby: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: środkowa wartość uporządkowanych danych
Wynik z: z = (x − μ)/σ
Rozkład normalny: 68% w zakresie ±1σ, 95% w zakresie ±2σ

Prawdopodobieństwo

Zdarzenie przeciwne: P(not A) = 1 − P(A)
Reguła dodawania: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zdarzenia niezależne: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Prawdopodobieństwo warunkowe: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Rozkład normalny

Wynik z: z = (x − μ)/σ
Poniżej x: P(X < x) = Φ(z)
Powyżej x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Pomiędzy: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentyl: x = μ + z·σ

Metoda

Zamień wartość na wynik standaryzowany: z = (x − μ)/σ.
Odczytaj Φ(z), pole na lewo od z.
Dla pola na prawo użyj 1 − Φ(z); dla przedziału odejmij dwa pola lewostronne.
Dla percentyla licz wstecz: wyznacz z dla pola, a potem x = μ + z·σ.

Przedziały ufności

σ znane: x̄ ± z·σ/√n
σ nieznane: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Wartość krytyczna z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Liczebność próby: n = (z·σ/E)², rounded up

Metoda

Wybierz między z (znane σ populacji) a t (tylko s z próby, z n − 1 stopniami swobody).
Wyznacz wartość krytyczną dla poziomu ufności.
Margines błędu: E = wartość krytyczna × odchylenie standardowe/√n.
Przedział: x̄ ± E.

Testy hipotez i przedziały ufności

Test z dla średniej: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t dla średniej: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dwustronny na poziomie 5%: odrzuć H₀, jeśli |z| > 1,96
Przedział ufności: x̄ ± z·σ/√n

Metoda

Sformułuj H₀ i H₁ i ustal, czy test jest jednostronny, czy dwustronny.
Oblicz statystykę testową: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) albo z s i t.
Porównaj z wartością krytyczną albo wyznacz wartość p.
Odrzuć H₀, jeśli statystyka przekracza wartość krytyczną (p poniżej α), i sformułuj wniosek słowami.

Regresja liniowa i korelacja

Sumy kwadratów: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Współczynnik kierunkowy: b = S_xy/S_xx
Wyraz wolny: a = ȳ − b·x̄
Korelacja: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reszta: e = y − ŷ

Testy chi-kwadrat

Statystyka testowa: χ² = Σ(O − E)²/E
Test zgodności: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Niezależność: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Wartości krytyczne (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decyzja: odrzuć H₀, jeśli χ² > χ²_crit

2Zadania do ćwiczenia

1.Metody badawcze w psychologiiŚredni

Badanie jest prerejestrowane. Oznacza to, że:

ABadanie zostało już opublikowane
BHipotezy, metody i plan analiz zapisano publicznie przed zebraniem danych
CWyniki sprawdził i zatwierdził drugi, niezależny statystyk przed publikacją
DUczestnicy rejestrują swoją zgodę online

2.Metody badawcze w psychologiiTrudny

Jaki jest główny cel losowego przydziału do warunków w eksperymencie?

ARównomierne rozłożenie zmiennych osobowych, by nie zakłócały wyników
BZapewnienie, że uczestnicy nie znają celu
CZwiększenie odsetka odpowiedzi
DZapewnienie reprezentatywności próby dla populacji docelowej, aby wyniki dało się uogólnić

3.Statystyka opisowaŚredni

Wyznacz odchylenie standardowe z próby s dla danych: 36, 41, 10, 49, 36, 26, 53.

n = 7

s =

4.Statystyka opisowaTrudny

Wielkość ma rozkład normalny ze średnią 70 i odchyleniem standardowym 10. Jaka część P wartości leży powyżej 55?

μ = 70σ = 10x = 55

P =

5.PrawdopodobieństwoŚredni

Dla pokazanego rozkładu wyznacz wariancję Var(X) zmiennej X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,15, 0,35, 0,35

Var(X) =

6.PrawdopodobieństwoTrudny

Gra kosztuje €10. Wygrywasz €50 z prawdopodobieństwem 0,2 i €100 z prawdopodobieństwem 0,01; w pozostałych przypadkach nic nie wygrywasz. Stawka nie jest zwracana. Wyznacz oczekiwany zysk netto E(G) na jedną grę.

stawka = €10€50: p = 0,2€100: p = 0,01

E(G) = €

7.Rozkład normalnyŚredni

Rozkład czasów pracy baterii jest normalny ze średnią 500 h i odchyleniem standardowym 40 h. Jaka część wartości leży między 480 a 572 h? Podaj P w postaci dziesiętnej.

μ = 500σ = 40x₁ = 480x₂ = 572

P =

8.Rozkład normalnyTrudny

Rozkład wyników egzaminu jest normalny ze średnią 65 pkt i odchyleniem standardowym 10 pkt. Wyznacz wartość x, poniżej której leży 80% wszystkich wartości (80. percentyl).

μ = 65σ = 10P = 80%

x = pkt

9.Przedziały ufnościŚredni

Próba 9 elementów ma średnią 58 i odchylenie standardowe s = 4,5. Populacja ma w przybliżeniu rozkład normalny. Wyznacz margines błędu E przedziału ufności 99% dla średniej.

n = 9x̄ = 58s = 4,599%t(8) = 3,355

E =

10.Przedziały ufnościTrudny

Odchylenie standardowe populacji wynosi 9. Jak liczna musi być próba n, aby przedział ufności 99% dla średniej miał margines błędu co najwyżej 0,5?

σ = 9E = 0,599%

n =

11.Testy hipotez i przedziały ufnościŚredni

Próba 81 studentów ma średni wynik 200,9 i odchylenie standardowe z próby 5. Wyznacz statystykę testową t dla H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 200,9s = 5n = 81

t =

12.Testy hipotez i przedziały ufnościTrudny

Jak duża musi być próba, aby przedział ufności 90 % dla średniej miał margines błędu co najwyżej 2,5? Odchylenie standardowe wynosi 8. Wyznacz najmniejszą liczebność próby n.

σ = 8E = 2,590%

n =

13.Regresja liniowa i korelacjaŚredni

Tabela podaje 6 par obserwacji x = obciążenie w kN i y = wydłużenie w mm. Wyznacz współczynnik determinacji r² prostej najmniejszych kwadratów.

n = 6

r² =

14.Regresja liniowa i korelacjaTrudny

Tabela podaje 5 par obserwacji x = liczba godzin nauki i y = wynik egzaminu. Użyj prostej najmniejszych kwadratów ŷ = a + b·x. Wyznacz prognozę ŷ dla x = 8.

n = 5x = 8

ŷ =

15.Testy chi-kwadratŚredni

Tabela kontyngencji pokazuje liczebności obserwowane. Oblicz statystykę chi-kwadrat χ² testu niezależności zmiennych wierszowej i kolumnowej. Nie stosuj poprawki na ciągłość.

N = 1802 × 2

χ² =

16.Testy chi-kwadratTrudny

Test niezależności chi-kwadrat przeprowadza się na tabeli kontyngencji o 2 wierszach i 4 kolumnach (bez sum). Ile stopni swobody df ma test?

2 × 4

df =

3Roztwory

1.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: B · Hipotezy, metody i plan analiz zapisano publicznie przed zebraniem danych

Dlaczego to jest odpowiedź

Prerejestracja oddziela analizy konfirmacyjne od eksploracyjnych i ogranicza praktyki takie jak p-hacking i HARKing.

Odpowiedź

B · Hipotezy, metody i plan analiz zapisano publicznie przed zebraniem danych

2.Metody badawcze w psychologii

Odpowiedź: A · Równomierne rozłożenie zmiennych osobowych, by nie zakłócały wyników

Dlaczego to jest odpowiedź

Losowy przydział równoważy różnice indywidualne między warunkami i wspiera wnioski przyczynowe. Losowy dobór próby dotyczy uogólniania na populację.

Odpowiedź

A · Równomierne rozłożenie zmiennych osobowych, by nie zakłócały wyników

3.Statystyka opisowa

Odpowiedź: s = 14,48

Statystyka opisowa: średnia to suma podzielona przez n; mediana to środkowa wartość uporządkowanych danych (średnia dwóch środkowych, gdy n jest parzyste). Odchylenie standardowe z próby to s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Wynik z = (x − μ)/σ mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej.

Średnia

x̄ = 251/7 = 35,86

Kwadraty odchyleń

Σ(x − x̄)² = 0,1429² + 5,143² + (−25,86)² + 13,14² + 0,1429² + (−9,857)² + 17,14² = 1259

Odchylenie standardowe

s = √(1259/6) = 14,48

Odpowiedź

s = 14,48

4.Statystyka opisowa

Odpowiedź: P = 0,9332

Standaryzuj

z = −1,5

Tablica rozkładu normalnego

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Odpowiedź

P = 0,9332

5.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: Var(X) = 109

Dyskretne zmienne losowe: rozkład prawdopodobieństwa wymienia każdą wartość x, jaką może przyjąć zmienna, wraz z jej prawdopodobieństwem p(x); prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 a 1 i sumują się do 1. Wartość oczekiwana (średnia) to E(X) = Σx·p(x), średnia w długim okresie. Wariancja to Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², a odchylenie standardowe σ = √Var(X). Dla zmiany liniowej Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) i σ_Y = |a|·σ_X; dodanie stałej nie zmienia rozrzutu.

Średnia

μ = 10·0,15 + 20·0,15 + 30·0,35 + 40·0,35 = 29

Średnia kwadratów

E(X²) = 100·0,15 + 400·0,15 + 900·0,35 + 1600·0,35 = 950

Wariancja

Var(X) = 950 − 29² = 109

Odpowiedź

Var(X) = 109

6.Prawdopodobieństwo

Odpowiedź: E(G) = 1 €

Wyniki netto

G: 40 (p = 0,2), 90 (p = 0,01), −10 (p = 0,79)

Wartość oczekiwana

E(G) = 40·0,2 + 90·0,01 − 10·0,79 = 1 €

Odpowiedź

E(G) = 1 €

Wartość dodatnia oznacza, że średnio wygrywasz pieniądze.

7.Rozkład normalny

Odpowiedź: P = 0,6555

Rozkład normalny: zamień wartość x na wynik z, z = (x − μ)/σ, który mówi, o ile odchyleń standardowych wartość leży od średniej. Tablica rozkładu normalnego (czyli Φ(z)) podaje pole na lewo od z, czyli P(X < x). Pole na prawo to 1 − Φ(z), a pole między dwiema wartościami to różnica ich dwóch pól.

Wyniki z

z₁ = (480 − 500)/40 = −0,5

z₂ = (572 − 500)/40 = 1,8

Pole pomiędzy

P = Φ(1,8) − Φ(−0,5) = 0,9641 − 0,3085 = 0,6555

Odpowiedź

P = 0,6555

8.Rozkład normalny

Odpowiedź: x = 73,42 pkt

z dla percentyla

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Powrót do x

x = 65 + 0,8416·10 = 73,42 pkt

Odpowiedź

x = 73,42 pkt

9.Przedziały ufności

Odpowiedź: E = 5,032

Przedział ufności dla średniej: x̄ ± margines błędu. Przy znanym σ populacji margines wynosi z·σ/√n; gdy znasz tylko odchylenie standardowe z próby s, użyj t z n − 1 stopniami swobody: t·s/√n. Wartości krytyczne: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Aby uzyskać margines E lub mniejszy, potrzebujesz n ≥ (z·σ/E)², zaokrąglone w górę.

Wartość krytyczna

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Margines błędu

E = 3,355·4,5/√9 = 5,032

Odpowiedź

E = 5,032

10.Przedziały ufności

Odpowiedź: n = 2150

Wyznacz n

n = (2,576·9/0,5)² = 2150

Zaokrąglij w górę

Liczebność próby jest liczbą całkowitą, a zaokrąglenie w dół dałoby za duży margines.

n = 2150

Odpowiedź

n = 2150

11.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: t = 1,62

Test dla średniej: statystyka testowa mierzy, o ile błędów standardowych średnia z próby leży od wartości z H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), gdy σ jest znane, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), gdy szacuje się je z próby. Przedział ufności to x̄ ± (wartość krytyczna)·(błąd standardowy).

Błąd standardowy

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Statystyka testowa

t = (200,9 − 200)/0,5556 = 1,62

Odpowiedź

t = 1,62

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀ na poziomie 5 % (test dwustronny).

12.Testy hipotez i przedziały ufności

Odpowiedź: n = 28

Wyznacz n

n = (1,645·8/2,5)² = 27,71

Zaokrąglij w górę

n = 28

Odpowiedź

n = 28

13.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: r² = 0,9959

Regresja metodą najmniejszych kwadratów: przy średnich x̄ i ȳ oraz Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² i Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) prosta ŷ = a + b·x ma współczynnik kierunkowy b = Sxy/Sxx i wyraz wolny a = ȳ − b·x̄, więc zawsze przechodzi przez punkt (x̄, ȳ). Współczynnik korelacji Pearsona r = Sxy/√(Sxx·Syy) leży między −1 a 1; r² to część zmienności y wyjaśniona przez prostą.

Średnie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 170/6 = 28,33

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 286

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1173

Współczynnik determinacji

r² = 286²/(70·1173) = 0,9959

Odpowiedź

r² = 0,9959

Około 99,59% zmienności y jest wyjaśnione przez prostą.

14.Regresja liniowa i korelacja

Odpowiedź: ŷ = 76,8

Średnie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 324/5 = 64,8

Sumy kwadratów i iloczynów

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160

Prosta regresji

b = 160/40 = 4

a = 64,8 − 4·5 = 44,8

ŷ = 44,8 + 4·x

Prognoza

ŷ = 44,8 + 4·8 = 76,8

Odpowiedź

ŷ = 76,8

15.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: χ² = 0,0989

Testy chi-kwadrat: porównaj liczebności obserwowane O z liczebnościami E oczekiwanymi przy H₀ za pomocą χ² = Σ(O − E)²/E. Test zgodności: E = n·p dla każdej kategorii, df = k − 1 (minus jeden za każdy parametr estymowany z danych). Niezależność w tabeli r × c: E = suma wiersza × suma kolumny / suma ogólna, df = (r − 1)(c − 1). Odrzuć H₀, gdy χ² przekracza wartość krytyczną dla wybranego α.

Liczebności oczekiwane

nowy lek: 100·117/180 = 65, 100·63/180 = 35

placebo: 80·117/180 = 52, 80·63/180 = 28

Statystyka chi-kwadrat

χ² = (64 − 65)²/65 + (36 − 35)²/35 + (53 − 52)²/52 + (27 − 28)²/28

χ² = 0,0989

Odpowiedź

χ² = 0,0989

df = 1. Przy α = 0,05 wartość krytyczna wynosi 3,841, więc decyzja dotycząca H₀ (niezależności): brak podstaw do odrzucenia.

16.Testy chi-kwadrat

Odpowiedź: df = 3

Stopnie swobody

df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3

Odpowiedź

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology